Suma armónica simétrica intrigante $\sum_{n\geq 1} \frac{H^{(k)}_n}{n^k}\, = \frac{\zeta{(2k)}+\zeta^{2}(k)}{2}$

Question

Probé la siguiente ecuación

$$\sum_{n\geq 1} \frac{H^{(k)}_n}{n^k}\, = \frac{\zeta{(2k)}+\zeta^{2}(k)}{2}$$

Definimos

$$H^{(k)}_n=\sum_{m= 1}^n \frac{1}{m^k}$$

Estoy deseando ver qué enfoques usarías.

Answer 1

¿No es simplemente $$\begin{align} \zeta^2(k) &= \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{n^km^k} \\&= 2\sum_{1\leq m\leq n} \frac{1}{(nm)^k} - \sum_{m=1}^\infty\frac{1}{(n^k)^2}\\ &=2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^k} - \zeta(2k)\\ &=2\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^{(k)}}{n^k} - \zeta(2k) \end{align}$$ ?

También podrías deducir que:

$$\zeta^2(k) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{n-1}^{(k)}}{n^k} +\zeta(2k)$$ Cada reordenamiento aquí se puede hacer debido a la convergencia absoluta.