Esta pregunta se deriva de algunos de los ejercicios en un resumen de la alternancia de la serie de iteraciones de (simple) de funciones. Puedo obtener algún tipo de paradoja...
Suponga $f(x) = x^2 - 0.5$ a que el inverso $ g(x) = \sqrt{0.5+x} $. Vamos a escribir la recorre en el uso de $h$ "de la iteración de altura" como segundo parámetro:
$ f(x,h+1)= f(f(x,h)) \qquad f(x,0)=x $ $ \qquad g(x,h)$ analoguously.
Las iteraciones, si se empieza de a $x_0=1$ tienen dos fixpoints: $ x_\omega=\lim_{k\to\infty} f(x_0,h)={1-\sqrt 3 \over 2} \approx -0.366 $$ x_{-\omega} = \lim_{k\to\infty} f(x_0,-h) = g(x_0,h) ={1+\sqrt 3 \over 2} \approx 1.366 $.
Vamos a denotar la recorre de $x_0$ por el índice de $x_1 = f(x_0,1), x_2=f(x_0,2),...x_\omega $ $x_{-1} = f(x_0,-1), x_{-2}=f(x_0,-2),... x_{-\omega} $
Ahora puedo calcular la alternancia de sumas: $ \begin{array} {rcl} sp(x_0)&=& \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x_k \\\ sn(x_0)&=& \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x_{-k} \\\ y(x_0) &=& sp(x_0) + sn(x_0) - x_0 \\\ &=& x_\omega \ldots +x_2 -x_1 + x_0 - x_{-1}+ x_{-2} - ... + ... x_{_\omega} \end{array} $
Debido a que las iteraciones convergen hacia el punto fijo y la suma es la alternancia de cada serie se Abel - o de Euler resumida y yo simplemente puede utilizar la sumalt-función en Pari/GP para obtener los valores numéricos, por ejemplo,
$
\begin{array} {rcl}
sp(1)&=& \sum_{k=0}^\infty (-1)^k f(1,k) &\approx 0.7098 \\\
sn(1)&=& \sum_{k=0}^\infty (-1)^k f(1,-k)&\approx 0.41976 \\\
y(1) &=& sp(1) + sn(1) - 1 &\approx\ 0.1296 \\\
\end{array}
$
Intuitively I'd assume, that taking $x_{-4},x_{-2},x_0,x_2,x_4,...$ as central values for the two alternating sums (in steps of two iterations) the results $s(x_{0+2k})$ should be identical for integer k - but apparently this is not true: Pari/GP as well as some checks with Euler-summation give a nonconclusive empirical result. Here is a table of some alternating sums centered at the iterates from $x_0=1$
$ \qquad \qquad \pequeño
\begin{array} {rrr}
x & sp(x) & sn(x) & y(x) \\
1 & 0.709801988103 & 0.419756033790 & 0.129558021893 \\
0.500000000000 & 0.290198011897 & 0.0802439662097 & -0.129558021893 \\
-0.250000000000 & 0.209801988103 & -0.330243966210 & 0.129558021893 \\
-0.437500000000 & -0.459801988103 & -0.361385096486 & -0.383687084589 \\
-0.308593750000 & 0.0223019881028 & -0.348680460029 & -0.0177847219265 \\
-0.404769897461 & -0.330895738103 & -0.364204951981 & -0.290330792623 \\
-0.336161330109 & -0.0738741593581 & -0.355478984338 & -0.0931918135864 \\
-0.386995560139 & -0.262287170751 & -0.363410316203 & -0.238701926815 \\
-0.350234436433 & -0.124708389388 & -0.358352789732 & -0.132826742687 \\
-0.377335839537 & -0.225526047045 & -0.362477669053 & -0.210667876562 \\
... & ... & .... & ... \\
-0.366025403784 & -0.183012701892 & -0.361005561798 & -0.177992859906 \\
-0.366025403784 & -0.183012701892 & -0.361005561798 & -0.177992859906 \\
-0.366025403784 & -0.183012701892 & -0.361005561798 & -0.177992859906 \\
-0.366025403784 & -0.183012701892 & -0.361005561798 & -0.177992859906
\end{array}
$
This confuses me much: I think, that the summation is valid, but I also think, that the two-way-infinite sum should be invariant to the centering in steps of two iterations.
Where do I go wrong here?
[Update]
I've seen one source of the problem: this is the two-valuedness of the inverse f(x)-function (the taking of squareroot). From this follows the infinite multifoldness of the trajectory if going with negative height. As simple as it is: on the trajectory is $x_0=1, x_1=0.5, x_2=-0.25, x_3=-0.4375,...$ but if we go back from $x_3$ to $x_2$ by $x_2 = f(x_3,-1)= g(x_3) $ necesitamos una corrección de la señal después de tomar el squarerroot en g(x). Este hereda a la plena trayectoria en la medida en que la negativa de dominio.
Hay algunas cosas más interesantes a raíz de este - indefinities o mejor: multivaluedness de iteración de la altura de los valores de la curva y=x^2-0.5=f(x) cerca de la negativa de punto fijo - tenemos un conjunto continuo asignan a sí mismo (con la contracción), que puede tener más consecuencias también en general, que yo aún no puedo reconocer plenamente.
Hmm, mientras esto se resuelve, al menos, la "práctica" o "evidente" el problema ante los ojos aquí, todavía estoy asustado/inseguro acerca del problema más general de la suma de la serie si se supone que con infinito índice en ambos extremos (incluso si las cosas son generalmente más fácil si la serie se alternan los signos). Pero esta pregunta puede entonces ser demasiado amplio/no especificado para las matemáticas.SÍ, así que tal vez voy más tarde formalmente "aceptar" algunos nula respuesta o voy a retractarse de toda la cuestión.
[actualización]
Para su comodidad, aquí es Pari/GP-código para reproducir el comportamiento:
\\ f can be positively or negatively be iterated:
f(x,h=0) = for(k=1,h,x=x^2-0.5); for(k=1,-h,x=sqrt(0.5+x)); x
\\ helper functions for sumalt. sumalt asks for consecutive iterations
\\ so we do not need to compute the full iteration at each function call
\\ instead we use a global variable and do only one step of iteration
fsa(k,x)=if(k==0, gl_f=x, gl_f = gl_f^2 - 0.5 ); return(gl_f);
gsa(k,x)=if(k==0, gl_f=x, gl_f = sqrt(gl_f + 0.5) ); return(gl_f);
fmt(400)
\\ check one solution using central value x0=1.0
x=1.0
sp=sumalt(k=0,(-1)^k*fsa(k,x))
sn=sumalt(k=0,(-1)^k*gsa(k,x))
sp+sn-x
\\ check for sequence of solutions for central values in steps of 1 iteration
vsumaltp=vectorv(n,r,[x=f(1,r-1),sp=sumalt(k=0,(-1)^k*fsa(k,x)),sn=sumalt(k=0,(-1)^k*gsa(k,x)),sp+sn-x])
vsumaltn=vectorv(n,r,[x=f(1,1-r),sp=sumalt(k=0,(-1)^k*fsa(k,x)),sn=sumalt(k=0,(-1)^k*gsa(k,x)),sp+sn-x])
Mat(vsumaltp) \\ list as documented , central values towards f(x,+inf)
Mat(vsumaltn) \\ central values towards f(x,-inf)
