Producto de cociente mapa de un cociente mapa cuando el dominio es compacto Hausdorff?

Question

Supongamos que $X$ es un compacto Hausdorff espacio y que $q : X \to Y$ es un cociente de mapa. Es cierto que el mapa de producto $q \times q : X \times X \to Y \times Y$ es también un cociente mapa? Nota: yo no asumir que el cociente del espacio de $Y$ fue Hausdorff (que yo sepa a ser el equivalente a closedness del cociente mapa de $q$ en esta situación). Gracias!

Añadido: pido por la siguiente razón. Wikipedia afirma que, para un compacto Hausdorff espacio de $X$ y un cociente mapa de $q : X \to Y$, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $Y$ es de Hausdorff.
2. $q$ es un cerrado mapa.
3. La equivalencia de la relación de $R = \{ (x,x') : q(x) = q(x') \}$ es cerrado en $X \times X$.

Yo era capaz de demostrar que (1) y (2) son equivalentes y también que (1) implica (3). Sin embargo, no veo cómo deducir (1) o (2) de (3). Buscar un poco en google, produce el siguiente ?la prueba? (el párrafo pertinente de ser la última) que se basa en la afirmación de que $q \times q$ es un cociente de mapa. Por tanto, la pregunta.

Answer 1

Es posible deducir ($2$) de ($3$) sin $q\times q$ ser un cociente de mapa.

Deje $A\subset X$ ser cerrado. Suponga $R=\{(x,x')\in X\times X\mid q(x)=q(x')\}$ es cerrado, por lo tanto compacto. A continuación, $A\times X\cap R$ es compacto, y así es también su imagen bajo la proyección $p_2$ en el segundo factor. Pero $p_2(A\times X\cap R)=\{x\in X\mid\exists a\in A:q(a)\sim q(x)\}=q^{-1}(q(A))$. Por lo que la saturación de un conjunto cerrado es compacto, y por lo tanto cerrado, lo que significa que $q$ es un cerrado mapa.

También se podría omitir la compacidad de $X$ si uno asume directamente que $R$ es compacto, porque el último paso sólo se utiliza la Hausdorff'ness deducir que un conjunto compacto es cerrado. Tenga en cuenta que la compacidad de $R$ hace $\{x\}\times X\cap R$ un conjunto compacto, por lo que las fibras son compactos y esto hace que $q$ un llamado perfecta mapa. Estos mapas preservar muchas de las propiedades del dominio, por ejemplo, todos los axiomas de separación (con la excepción de $T_0$)

Esto no contesta a la pregunta del título, lo que realmente me gustaría saber a mí mismo. Yo sólo sé acerca de el producto de un cociente mapa con la Identidad de $q\times Id:X\times Z\to Y\times Z$, que es un cociente de mapa si $Z$ es localmente compacto.

Edit: en Realidad, mostrando que $q$ está cerrado sólo requiere la compacidad de $X$. De hecho, si $X$ es compacto, entonces la proyección de $p_2$ es un cerrado mapa, así que si $R$ es cerrado, entonces para cada cerrado $A\subseteq X$, la $p_2(A\times X\cap R)$ es cerrado.