Me pueden decir si esto es correcto?
Deje $R$ ser un anillo y deje que se tiene la $I$-ádico de la topología de algún ideal $I$$R$. Quiero mostrar que la $+: R \times R \to R$ es continua en a $(x_0, y_0)$.
Prueba: Barrios de cero parecerse a $I^nR$, de modo que los barrios de $x$ $R$ parecerse a $x + I^nR$. Lo que quiero mostrar es que para un barrio de $x_0 + y_0 + I^{n_0}R$ $x_0 + y_0$ existe una vecindad $N = I^nR \times I^mR$ $(x_0, y_0)$ tal que para todos los $(x,y) \in I^nR \times I^mR$ tenemos $x+y \in x_0 + y_0 + I^{n_0}R$. Pick $n = m = n_0$. Ahora $+(x_0 + I^{n_0}R \times y_0 + I^{n_0}R) = x_0 + y_0 + I^{n_0}R$ lo que demuestra la demanda.
Del mismo modo, $\cdot : R \times R \to R$ es continua en a $(x_0, y_0)$. Deje $N=I^{n_0}R$ ser una vecindad de cero, por lo que el $x_0 y_0 + I^{n_0} R$ es un barrio de $x_0 y_0$. Ahora queremos encontrar $n,m$ tal que $\cdot(x_0 + I^n R \times y_0 + I^m R ) \subset x_0y_0 + I^{n_0}R$. De nuevo vamos a $n=m=n_0$. A continuación,$\cdot(x_0 + I^{n_0} R \times y_0 + I^{n_0} R ) = x_0 y_0 + I^{2n_0}R \subset x_0 y_0 + I^{n_0}R $. Lo que demuestra la demanda.
Gracias por tu ayuda.
