He aquí una motivación. Supongamos que quieres hacer "geometría". Con esto quiero decir que estás trabajando con variedades sobre un campo algebraicamente cerrado, digamos $\overline{\mathbb{Q}}$ . Al trabajar en la categoría de esquemas sobre $S=Spec(\overline{\mathbb{Q}})$ matas todo tipo de morfismos que no "vienen de la geometría". Llegaremos a lo que eso significa después de un ejemplo.
Si honestamente estamos haciendo geometría, entonces esperaríamos que desde $S$ es sólo geométricamente un punto que su grupo de automorfismo sería trivial. Pero consideremos cualquier $\sigma\in Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ . Mientras $\sigma$ no es el mapa de identidad, obtenemos un automorfismo no trivial después de aplicar Spec que llamaremos igual $\sigma: S\to S$ . Así, $Aut(S)$ contiene al menos el enorme grupo $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ (de hecho es igual a esto).
Esto no es lo que nos gustaría llamar morfismos procedentes de la geometría. Esto es lo que ocurre cuando sólo trabajamos en términos de esquemas (no relativos). Parece que recogemos todo tipo de morfismos procedentes de la teoría de los números o de la aritmética. Consideremos ahora $S$ como un esquema sobre $S$ con el mapa estructural trivial $id_S: S\to S$ .
Ahora bien, si comprobamos si cualquier no trivial $\sigma: S\to S$ está en el grupo de automorfismo de $S$ como $S$ -esquema vemos que no puede ser porque el diagrama apropiado no conmutará. En la categoría de $S$ -vemos que en realidad eliminamos todos los automorfismos no geométricos y $Aut_S(S)$ es sólo el mapa de identidad única que pensamos que deberíamos obtener.
Al principio, parece que considerar esta categoría más complicada hará las cosas... más complicadas, pero en la práctica solemos hacer exactamente la situación anterior. Si $X, Y$ son variedades sobre $k=\overline{k}$ entonces trabajamos en la categoría de $k$ -sistemas. Simplificará las cosas eliminando los morfismos no geométricos.
