Hay una gamma-como función de la q-factorial?

Question

Estoy buscando en el quantum de cálculo y tratando de entender lo que está pasando con este tema. Mirando el q-factorial me pregunto si esta función no se puede tomar todo real o incluso números complejos en la misma forma en que $\Gamma (z)$ funciona como una extensión de $f(n) =n!$. Ya, necesito practicar con ambas $\Gamma $ y q análogos -, sería un buen proyecto para tratar de recrear $\Gamma (z)$ en esta nueva configuración o es que todo el proyecto carente de cordura, matemática solidez?

También, una cuestión menor, ¿por qué hay a veces un coeficiente de q-analógico expansiones como en esta expresión:

$(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1}).$

Estoy un poco avergonzado de no saber, pero no de la lit. He explica, voy a al azar a ver que arrojó allí de vez en cuando... y la verdad es que me lanza fuera.

Gracias.

Answer 1

Primero que todo, permítanme empezar por recomendar un excelente libro de Victor Kac, "Quantum cálculo".

q-función Gamma $\Gamma_q$ generalizada de Euler $\Gamma$ función mediante la sustitución de la recurrencia de identidad con q-deformación: $$ \Gamma(x+1) = x \Gamma(x) \quad \Longrightarrow \quad \Gamma_q(x+1) = [x]_q \Gamma_q(x) $$ donde $[x]_q = \frac{1-q^x}{1-q}$ es un número q.

Al $x$ es un entero positivo, y asumiendo $\Gamma_q(1) = 1$, obtenemos $$ \Gamma_q(n+1) = \prod_{k=1}^n \frac{1-p^k}{1-p} = \frac{(p,q)_n}{(1-p)^n} = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{(q,q)_\infty}{(1-q)^n (q,q^n)_\infty} & |q|<1 \\ \frac{ q^{n(n-1)/2} (q^{-1},q^{-1})_\infty}{(1-q^{-1})^n (q^{-1},q^{-n})_\infty} & |q|>1 \end{array} \right. $$ La última expresión se define ahora por $n \in \mathbb{C}$, mientras $n$ no es un no-entero positivo, como $(q,q^{-k})_\infty = 0$$k \in \mathbb{Z}^+$.