Hay una definición rigurosa de "mucho mayor que'?

Question

Me he encontrado con $\gg$ en muchos libros de texto de física en los que se utiliza como una relación entre las constantes o funciones, pero en ninguno de los libros de texto que he leído es definido correctamente en cualquier lugar.

Si $a \gg B$ donde $A$ y $B$ son constantes, o $f(x) \gg g(x)$ hace esto simplemente significa que $A \geq 10B$ y $f(x) \geq 10 g(x)$ para todo $x$?

Nota: estoy pidiendo esto aquí porque los matemáticos no utilice la mucho mayor que la de relación. Al menos no que yo sepa.

Answer 1

Hay una constante definición, pero implica un par de umbrales arbitrarios, por lo que dudo que debería considerar es riguroso. La construcción $X \gg$ Y significa que la relación de $\frac{Y}{X}$ es lo suficientemente pequeño que subleading términos en la expansión de la serie para $f\bigl(\frac{Y}{X}\bigr) - f(0)$ puede ser descuidado, donde $f$ es relevante función que intervienen en el cálculo. Esto depende de lo que quieres decir por "puede ser descuidado", de curso; por lo general, que será determinado por las incertidumbres de los datos o su teórico de los parámetros.

Técnicamente depende de $f$, demasiado, pero las funciones que utilizamos en la física, normalmente, tienen el poder de la serie con los coeficientes que son cercanos a 1, o dentro de un par de órdenes de magnitud por lo menos. Mientras los coeficientes no crecen exponencialmente (con lo que quiero decir $f_n \aprox f_0 k^n$ $k$), que no tienen mucho efecto en los términos de la serie son insignificantes.

Como un ejemplo, considere la posibilidad de una típica condición en la relatividad, $v \ll c$. (O $c \gg v$, si lo prefiere.) La función es, por supuesto, el factor de gamma: $$\gamma\biggl(\frac{v}{c}\biggr) = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 1 + \frac{1}{2}\biggl(\frac{v}{c}\biggr)^2 + \frac{3}{8}\biggl(\frac{v}{c}\biggr)^4 + \cdots$$ así que debemos examinar la subleading plazo de $\gamma\bigl(\frac{v}{c}\bigr) - \gamma(0)$, que es $\frac{3}{8}\bigl(\frac{v}{c}\bigr)^4$, a ver si es insignificante en comparación con el líder plazo, que es de $\frac{1}{2}\bigl(\frac{v}{c}\bigr)^2$. Esto es equivalente a la comprobación de cómo la relación de los dos términos, $\frac{3}{4}\bigl(\frac{v}{c}\bigr)^2$, lo que se compara con $1$.

He incluido la relación de todos los subleading términos para el líder plazo, así como la proporción de sólo el primer subleading término a la primera, pero para velocidades lentas son casi los mismos de todos modos. Y para altas velocidades, que claramente no tienen que reclamar $v \ll c$ en el primer lugar.

Aquí es donde la mayoría de la evidente ambigüedad: ¿a dónde trazar la línea? Curiosamente no puede haber una verdadera línea: dibuja una línea horizontal a través de la trama en cualquier nivel en el que usted se siente cómodo teniendo en cuenta "insignificante", y en donde cruza la curva, que indica a qué valor de $v$ lo suficientemente satisface $v \ll c$. El valor depende de sus requerimientos, por supuesto, pero se puede ver que para $v \lesssim 0.1 c$, las curvas son casi indistinguibles de la parte inferior de la parcela. Así que es muy común considerar $v \ll c$ satisfecho cuando $v \lesssim 0.1 c$.

Answer 2

Creo que la respuesta es no. Generalmente precede a algún método de aproximación con un almacén de error, pero hay tantas aproximaciones métodos de la física -- riguroso, algunos nonrigorous -- que es demasiado presuntuoso para dar una definición rigurosa.

En general, significa una de varias cosas:

1. Si $a\ll b$, la ampliación de los poderes de $\frac{a}{b}$ es apropiado (e implícitamente -- está dentro del poder de la serie de radio de convergencia!)
2. Si $a\ll b$, entonces $ka=b$ $k>1$ "suficientemente grande". "Lo suficientemente grande" puede significar cosas completamente diferentes dependiendo de la aplicación.

Eso es todo. Creo que no se puede decir nada más sobre él.

La expansión de los parámetros de un pequeño parámetro es riguroso y bien definido, y por lo general se da un límite superior en el error, pero esto no es siempre lo que se hace. Permítanme darles un ejemplo en el que el real matemáticas "análisis real" detalles sería difícil de trabajar. Este ejemplo es un ejemplo donde no tienen idea de lo "suficientemente grande" significa hasta que se termine el problema.

Considere la ecuación $f"(x)+A^2 f(x)+f'(x)^2=0$. Sé que es artificial, pero usted realmente puede acabar con una desagradable ecuaciones como ésta. Tenga en cuenta también que las unidades son consistentes si $f$ es en metros, $x$ es en metros, y $A$ es inversamente metros. $f$ podría ser un montón de cosas diferentes, pero el razonamiento en muchos métodos de aproximación es la siguiente: Digamos que $f(x)$ cambios significativamente (dobles/mitades/lo-que-usted) sólo en las escalas de longitud del orden de $L$. Entonces usted podría esperar, diferenciando a tener el efecto de dividir por $L$. Entonces la magnitud de los términos debe ser como $L^{-2} f(x)+A^2 f(x)+ L^{-2} f(x)^2$. Supongamos que $L\ll f(x)$ y $f(x)\ll$. Bueno, yo no veo ningún método para demostrar que los términos en que aquí puede ser descuidado, así que voy a asumir que el tercer término puede ser descuidado. A continuación, el resto de la educación a distancia es sólo una sinusoide con una cierta magnitud pequeña, tal vez de $f(x)=\frac{k}{A} \sin(x)$. Vamos a comprobar si la hipótesis es válida por conectar todo de nuevo en la educación a distancia:

$f"(x)+A^2 f(x)+f'(x)^2=-k \sin(x)+k \sin(x)+k^2 \sin^2(x)$

Así, la suposición de que es bueno si $k^2$ es lo suficientemente pequeño, pero lo suficientemente pequeño? No podemos decir: "$k^2\ll 1$", porque entonces las unidades no sería coherente, pero sabemos que tiene que estar lo suficientemente cerca a cero para nosotros no se preocupan por ella.

En ese asunto, lo que podría $L\ll f(x)$ significa? $\frac{L}{f(x)}$ diverge a infinito periódicamente, por lo que no es menos de lo que uno! Y yo tenía que asumir descuidar algo que podría funcionar en el primer lugar. Además, ¿y si la educación a distancia tiene algún problema donde no hay comentarios de que el término no lineal hemos descuidado? A continuación, la solución de los golpes y todo es una mierda!

Hay un montón de cosas que usted podría hacer para solucionar todos estos problemas, pero mi punto es: Aproximaciones son un arte, y en la práctica con cosas como esta, el proceso de la solución de su problema es descuidado y nonrigorous, pero con un poco de suerte puede volver más tarde y revisión de todos los matemáticos agujeros en el argumento. Si quería conseguir un buen resultado matemático de esto, yo podría empezar con "se Asume que $f(x)=\frac{k}{A}\sin(x)$. Entonces $|f"(x)+A^2 f(x)+f'(x)^2| \lt \varepsilon$ para todo $x$, donde [cierta relación entre la $k$ y $\varepsilon$]." Todas las aproximaciones que se me hizo para llegar a la fórmula por $f(x)$ se nonrigorous y severamente necesitan ser parcheados!

No se trata de siempre de la serie de expansiones.

Answer 3

Es un símbolo y una idea utilizados en matemáticas. Pero la parte importante es sólo que $B$ es "ignorables" con respecto a $A$. Esto depende del nivel de precisión que se utiliza experimentalmente. Si estás trabajando con una precisión de 1 parte en 100, $B$ no debería tener efecto la respuesta a ese nivel de precisión. Si usted está trabajando a 1 parte por millón, entonces $B$ no debería tener efecto la respuesta a ese nivel.

Por ejemplo, podríamos decir que la relatividad general es ignorable para poner un hombre en la luna, pero no para la ejecución de un sistema de GPS. El más específico de la comida para llevar es aprender que no hay tal cosa como un número exacto en la física. Siempre es $\pm err$

Answer 4

Creo que no hay una definición rigurosa de "$\ll$" signo, que es lo contrario a lo que están pidiendo, pero igualmente útil noción. Usted debe leer esta "$\ll$" como es insignificante en comparación con. Por ejemplo, $f(x) \ll g(x)$ $x=x_0$ (en un contexto más general) iff $ \frac{f(x)}{g(x)}\to 0$ $x\a x_0$.

Answer 5

A menudo me he encontrado con el $\ll signo$ en contextos como:

Dado $A \ll B$, una cierta propiedad P $$ sostiene - no, aproximadamente, o como un límite, sino exactamente. Este es entonces el opuesto a que $P$ sería cierto para $\gtrsim$ o $\gtrapprox$ (dependiendo del estilo). No recuerdo specifific de los casos, pero he visto el último, en los estudios de los sistemas dinámicos, caos, etc.

La manera en la que he pensado en $A \ll B \implica P $ es sólo que existe una $X<B$ tal que para todo $A < $ X, la propiedad se cumple.