Es producto de Euler fórmula equivalente al teorema fundamental de la aritmética (único teorema de factorización)?

Question

Es producto de Euler fórmula equivalente al teorema fundamental de la aritmética (único teorema de factorización) ?

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}$$

Sabemos que podemos derivar de Euler producto de la fórmula del teorema fundamental de la aritmética. Es lo opuesto también es cierto ? Se puede usar el producto de Euler fórmula para deducir el teorema fundamental de la aritmética.

La razón por la que estamos interesados en este asunto es, si podemos derivar teorema fundamental de la aritmética de Euler fórmula del producto, ¿ significa esto que Riemann Zeta función es un "complejo versión" del teorema fundamental de la aritmética ?

Answer 1

La respuesta es afirmativa. Desde $$\frac{1}{1-p^{-s}}=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\ldots, $$ tenemos la identidad: $$\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum_{n\geq 1}\frac{h(n)}{n^s}$$ donde $h(n)\in\mathbb{N}_{\geq 1}$ cuenta el número de maneras de escribir $n$ como un producto de potencias de los diferentes números primos. Asumiendo $h(n)>1$ algunos $n$, la identidad $$\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac{h(n)}{n^s}$$ no se puede mantener para cada $s\in\mathbb{R}_{>1}$. Esto demuestra el teorema fundamental de la aritmética.