¿Es el polinomio $x^{105} - 9$ reducible sobre $\mathbb{Z}$ ?

Question

¿Es el polinomio $x^{105} - 9$ reducible sobre $\mathbb{Z}$ ?

Este ejercicio lo recibí en un examen y no lo resolví. Tendría curiosidad por cualquier demostración con explicaciones. Gracias.

Answer 1

Una pista: Haz un Polígono de Newton para el primer $p=3$ . Utilice el corolario de la parte superior de la página 2 en estas notas de Paul Garrett (alternativamente, aquí hay capturas de pantalla: página 1 , página 2 ).

Answer 2

Para los binomios existe una prueba de irreductibilidad clásica (abajo). Implica que $\,x^{105}-c\,$ es irreducible sobre un campo $\,F\,$ si $\,c\,$ no es una tercera, quinta o séptima potencia en $\,F,$ desde $\,105 = 3\cdot 5\cdot 7.$

Teorema $\ $ Supongamos que $\:c\in F\:$ un campo, y $\:0 < n\in\mathbb Z.$

$\quad x^n - c\ $ es irreducible sobre $\:F \iff c \not\in F^p\:$ para todos los primos $\,p\mid n\:$ y $\ c\not\in -4F^4$ cuando $\: 4\mid n$ .

Las pruebas se pueden encontrar en muchos libros de texto de Teoría de Campos, por ejemplo, ver Álgebra de Lang, o ver Karpilovsky, Topics in Field Theory, Teorema 8.1.6.