Campo cociente de un anillo cociente

Question

Dado $R$ un dominio integral (anillo conmutativo sin divisores cero), y $\mathfrak P$ un ideal primo en $R$ ¿existe una relación entre el campo de las fracciones de $R$ y el campo de las fracciones de $R/\mathfrak P$ ?

Es trivial ver que siempre que $\mathfrak P$ también es máxima, entonces $\text{Frac}(R/\mathfrak P)\cong R/\mathfrak P$ pero en general estaría bien que las cosas funcionaran así:

1. Existe al menos un ideal máximo que contiene $\mathfrak P$

2. Existe un ideal máximo $\mathfrak M$ que contiene $\mathfrak P$

3. el campo de las fracciones de $R/\mathfrak P$ es $R/\mathfrak M$

pero no soy capaz de probar o refutar esto...

Answer 1

Con respecto a la pregunta de su primera frase, puede pensar en el ejemplo de $R = \mathbb Z$ , $\mathfrak P = p \mathbb Z$ para un primer $p$ , y pregúntese qué relación (si la hay) existe entre $\mathbb Q$ (el campo de las fracciones de $\mathbb Z$ ) y $\mathbb F_p = \mathbb Z/p\mathbb Z$ (el campo finito de $p$ elementos).

En general, si $\mathfrak P$ es primo pero no maximal, entonces el cociente $R_{\mathfrak P}/P R_{\mathfrak P}$ (donde $R_{\mathfrak P}$ es el localización de $R$ en $\mathfrak P$ ) es igual al campo de fracciones de $R/\mathfrak P$ , y este es el método típico en el álgebra conmutativa para encontrar un vínculo entre el campo de fracciones de $R/\mathfrak P$ y el anillo $R$ sí mismo.

Answer 2

Considere el anillo ${\Bbb Z}[x]$ de polinomios con coeficientes enteros y sus ideales primos $I=(2)$ , $J=(x)$ y el ideal máximo $M=(2,x)$ que contiene ambos.

Entonces $R/I={\Bbb Z}/2{\Bbb Z}[x]$ con el campo del cociente ${\Bbb Z}/2{\Bbb Z}(x)$ , $R/J={\Bbb Z}$ con el campo del cociente $\Bbb Q$ y el campo de residuos en $M$ es ${\Bbb Z}/2{\Bbb Z}$ que es un subcampo de $Frac(R/I)$ pero no tiene nada que ver con $Frac(R/J)$ .........

Por supuesto, si $I\subset J$ hay un mapa canónico suryectivo $R/I\rightarrow R/J$ pero un mapa suryectivo de dominios NO induce un mapa de campos de fracciones.