Estoy tomando un dictado de clase en Atiyah-Singer en este semestre. Mientras la clase se está moviendo muy lentamente (sólo hemos cubierto cómo utilizar de Atiyah-Singer para demostrar de Gauss-Bonnet, y la introducción de pseudodifferential operadores), me pregunto cómo la práctica de este teorema es. La siguiente pregunta es de carácter general:
Supongamos que tenemos un PDE dado por ciertos elíptica diferencial del operador, ¿cómo computable es el índice topológico de este diferencial de operador? Si nos dan ciertas condiciones de contorno en el dominio (por ejemplo, la unidad de círculo con un punto de quitarse, un triángulo, un cuadrado, etc), podemos extender el $K$-teoría de la prueba en este caso? Sé el $K$-teoría de la retórica de la prueba en la literatura, pero no tengo conocimiento de esta prueba es altamente abstracto y no parece estar directamente computable. Ahora bien, si estamos interesados en la parte analítica de las cosas, pero no puede calcular el índice analítico directamente debido a dificultades de análisis, ¿qué tan difícil es calcular el índice topológico lugar? No parece obvio para mí como uno puede calcular la Todd de la clase o de la chern carácter, en casos prácticos.
La pregunta es motiviated por la siguiente observación: Dado adicional de la estructura algebraica (por ejemplo, si $M$ es un espacio homogéneo, $E$ es un paquete de fibra de isomorfo a $H$) podemos demostrar que Atiyah-Singer puede ser reducido a dirigir cálculos algebraicos. Sin embargo, ¿qué pasa si el subyacente colector es realmente malo? Lo que si tiene límites de codimension 1 o superior?Cómo computable es el índice si nos encontramos con una analítica y geométrica de la singularidad?(que aparece con bastante frecuencia en la PDE).
Por otro lado, supongamos que tenemos un colector con esquinas y sabemos que un determinado operador del índice topológico. Cuanta esperanza tenemos en la recuperación de los asociados operador por la recuperación de su principal símbolo? Podemos usar esto para poner ciertos límites analíticos en los colectores(como lo mal que un operador en lo que podría ser si el índice está dado)?
