Es posible introducir el campo gauge en una QFT puramente con argumentos geométricos. Para simplificar, consideremos la QED, comenzando sólo con los fermiones, y veamos cómo surge naturalmente el campo gauge. La observación es que la derivada del campo de Dirac no tiene una transformación bien definida, porque $$n^\mu \partial_\mu \,\psi = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\big[\psi(x+\epsilon n)-\psi(x)\big],$$ es decir, la derivada combina dos campos en diferentes puntos del espaciotiempo (que tienen diferentes reglas de transformación). Tenemos que introducir un transportador paralelo $U(y,x)$ que se transforma como $$U(y,x) \rightarrow e^{ig\alpha(y)}U(y,x) e^{-ig \alpha(x)},$$ de manera que podamos adaptar la definición de la derivada a una derivada covariante, que se transforme de manera bien definida: $$n^\mu D_\mu \,\psi = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\big[\psi(x+\epsilon n)- U(x+\epsilon n,x)\psi(x)\big].$$ A partir de argumentos geométricos, es sencillo demostrar que el transportador paralelo es una línea de Wilson: $$U(y,x) = \mathcal{P}\,e^{ig\int\limits_x^y dz^\mu\, A_\mu(z)},$$ que introduce un nuevo campo, el campo gauge $A_\mu$ . Véase, por ejemplo, el capítulo 15 de Peskin y Schroeder para más detalles.
Sin embargo Cuando el término de interacción $\bar{\psi} A_\mu \psi$ surgió de forma natural, no veo en absoluto cómo surgen los términos cinéticos. La forma estándar de proceder, es considerar un bucle de Wilson (una línea de Wilson en una trayectoria cerrada), y utilizar el teorema de Stokes: $$\text{exp}\left\{ig\oint_\mathcal{C}dx^\mu\, A_\mu \right\} = \text{exp}\left\{ig\int_\Sigma dx^\mu \wedge dx^\nu\,\left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right)\right\},$$ donde por supuesto $\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \equiv F_{\mu\nu}$ . En Peskin & Schroeder, consideran entonces un pequeño bucle rectangular, y ven que en el límite $\epsilon\rightarrow 0$ , $F_{\mu\nu}$ es invariable. Pero, ¿qué sentido tiene? Es decir, la ley de transformación para $A_\mu$ se calcula fácilmente a partir de la definición del bucle de Wilson: $$A_\mu\rightarrow A_\mu+\partial_\mu \alpha,$$ haciendo $F_{\mu\nu}$ invariante por definición: $$F_{\mu\nu}\rightarrow \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu +\square \alpha-\square \alpha. $$
Me hubiera gustado ver un cálculo, partiendo de una parametrización de bucle particular, que condujera naturalmente a los términos cinéticos correctos en el Lagrangiano, como fue el caso del término de interacción. En otras palabras $$\text{exp}\left\{ig\oint_\mathcal{C}dx^\mu\, A_\mu \right\} \leadsto -\frac{1}{4}\left(F_{\mu\nu}\right)^2,$$ pero no tengo ni idea de cómo hacerlo.
O la idea es simplemente "mira, he encontrado algunos términos de la derivada cuadrática que son invariantes, ahora déjame juguetear un poco y poner su cuadrado en $\mathcal{L}$ '? Si es así, ¿por qué Peskin y Schroeder se molestan en calcular una parametrización del bucle (p484), si con el teorema de Stokes hubiera bastado para encontrar $F_{\mu\nu}$ ¿en algún lugar?
EDITAR
A partir de los comentarios, algunas aclaraciones. Esta no es una pregunta sobre por qué necesitamos términos cinéticos o cómo deberían ser. Sé perfectamente cómo construir el lagrangiano del SM de la manera estándar. Se tiene un campo vectorial $A_\mu$ se necesitan términos cinéticos, por lo que se utiliza una estructura similar a la de Klein-Gordon, adaptándola un poco (debido al comportamiento gauge de $A_\mu$ ) y así sucesivamente. QFT estándar.
Pero todo esto es manual , casi un poco a prueba y error, poniendo términos porque sabes que funcionan como deben. Es como hacer el Lagrangiano como un rompecabezas: sólo hay que poner las piezas que encajan. No hay problema con eso, funciona y es una forma ampliamente aceptada de hacer física, pero desde un punto de vista teórico, no es tan elegante.
Pero podemos hacerlo de una manera más elegante. Si partimos sólo de un campo de Dirac y de la ecuación de Dirac, entonces, por puros argumentos matemáticos y geométricos, aparece el campo gauge, como se ha comentado anteriormente. La cuestión es si también podemos hacer aparecer los términos cinéticos para el campo gauge puramente basados en argumentos matemáticos y geométricos. Si se cree en el libro de QFT de Peskin y Schroeder, se puede, partiendo de un bucle de Wilson (como se ha comentado anteriormente, ver p484-494). Pero entonces se termina con un factor $\epsilon^4$ el área del bucle al cuadrado, delante del tensor de campo. Se podría restringir a una clase de bucles con área $S=1$ pero hay dos problemas con eso:
- En el cálculo, el exponente y la integral se expandieron, utilizando el hecho de que $\epsilon <\!\!< 1$ . Esto contradice nuestra restricción $S=1$ .
- Esta restricción invalida un poco la elegancia, ya que ahora hay que afinar el área del bucle. Esperaba encontrar algo como "en el límite $\epsilon\rightarrow 0$ el tensor de campo es lo que queda".
Entonces, ¿no es posible obtener los términos cinéticos para el campo gauge puramente a partir de argumentos geométricos?
Si la respuesta es no, no tiene sentido presumir de la aparición natural del término de interacción. No es elegante que el término de interacción surja de forma natural, pero hay que elegir a dedo los términos cinéticos. Por un lado, ¿cómo demuestras que el campo que emerge naturalmente (términos de interacción) y el que tú pones (términos cinéticos) son el mismo campo?
