¿La serie $\sum n!/n^n$ convergen o divergen?

Question

así que he usado el root de la prueba, pero no estoy muy seguro de si se me permite. Yo pienso im que la realización de las operaciones correctamente,y sigo terminando con $(1)^{\infty}$. Así que en realidad mi pregunta es estoy de realizar las operaciones de malo o tengo que usar una prueba diferente?

Answer 1

Sugerencia:

$$\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\ldots$$

Y sí: converge.

Answer 2

$$\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot\frac{3}{n}\cdot ... \cdot \frac{n}{n}\leq \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot1\cdot ... \cdot 1= \frac{2}{n^2}$$

Answer 3

Aquí es un completo elemental de la prueba con una explícita límite superior de 4:

$n! = \prod_{i=1}^n i$, así, invirtiendo el orden de los términos, $n! = \prod_{i=1}^n (n+1-i)$.

La multiplicación de estos, $n!^2 = \prod_{i=1}^n i(n+1-i)$. Pero

$\begin{align} i(n+1-i) = i(n+1) - i^2 &= \frac{(n+1)^2}{4} - \frac{(n+1)^2}{4} +i(n+1) - i^2\\ &= \frac{(n+1)^2}{4} - (i-\frac{n+1}{2})^2\\ &\le \frac{(n+1)^2}{4} \end{align} $

así

$\begin{align} n!^2 &\le \prod_{i=1}^n {(n+1)^2}{4}\\ &= \big(\frac{(n+1)^2}{4}\big)^n\\ &= \big(\frac{n+1}{2}\big)^{2n}\\ \end{align} $

o $n! \le \big(\frac{n+1}{2}\big)^{n}$, así $$\frac{n!}{n^n} \le \big(\frac{n+1}{2n}\big)^n = \big(\frac1{2}+\frac1{2n}\big)^n$$

Desde $\frac1{2}+\frac1{2n} \le \frac{3}{4}$$n \ge 2$,

$\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} &\le 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \big(\frac{3}{4}\big)^n\\ &=1 + \frac{(3/4)^2}{1-3/4}\\ &= 1 + 9/4\\ &= 13/4\\ &< 4\\ \end{align} $.

Answer 4

Todo lo que necesita es que el $n! \approx c \sqrt{n}(n/e)^n$ para algunos de los verdaderos $c$.

A continuación, $n!/n^n \approx c \sqrt{n}/e^n$ por lo que la suma converge.

En realidad, esto demuestra que $\sum_{n=0}^{\infty} x^n n!/n^n$ converge para $|x| < e$.

Answer 5

El uso de d'Alembert para la prueba de razón, no es difícil encontrar la convergencia de la serie. http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test