Demostrar que para todo número entero $n,$ si $n$ es impar entonces $n^2$ es impar.
Me pregunto si mi respuesta a la pregunta anterior es correcta. Espero que alguien pueda ayudarme.
Utilizando el contrapositivo, supongamos $n^2$ no es impar, por lo tanto incluso. Entonces $n^2 = 2a$ para algún número entero $a$ , $$n = 2(\frac{a}{n})$$ donde $\frac{a}{n}$ es un número entero. Por lo tanto $n$ es par.
En la mayoría de las clases de introducción a la demostración, el profesor debería insistir en ello. Es decir, para la pregunta que has planteado la prueba más limpia es la siguiente,
Reclamación: Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar, para todos $n \in \mathbb{Z}$ .
Prueba: Supongamos que $n$ es impar, entonces $n=2k+1$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $$n^2 = (2k+1)^2= 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) +1 $$ donde $(2k^2 + 2k) \in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $n^2$ es impar como se desee.
Mientras que, para la inversa, te encontrarás rápidamente con problemas si no intentas una demostración por contrapositiva (Ejercicio: ¡Pruébalo con una demostración directa y mira dónde te atascas!).
Reclamación: Si $n^2$ es impar, entonces $n$ es impar, para todos $n \in \mathbb{Z}$ .
Prueba: Por contraposición, la afirmación es lógicamente equivalente a "Si $n$ es par entonces $n^2$ es par, para todos $n \in \mathbb{Z}$ ". Supongamos que $n$ es par, entonces $n=2k$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$$ donde $2k^2 \in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $n^2$ es uniforme como se desea.
Esta noche he visto una prueba muy buena de esto en SE. Demuestra la equivalencia '' $n^2$ incluso si $n$ incluso'' en una línea. $n(n+1) = n^2 + n$ es par, por lo que $n^2$ y $n$ son ambos pares o ambos Impares. Nunca había visto eso antes. Yo también pensaba que el contrapunto era lo más fácil hasta que vi esto.
¡Oh Dios, eso está realmente limpio! Todavía parece que la forma en que presenté desarrolla un poco más de intuición para intentar sus primeras pruebas no triviales en "teoría de números" sin embargo.
Claro. En mis clases de fundamentos primero les hago probar que $n$ incluso implica $n^2$ incluso que es una prueba directa fácil. La dirección opuesta ofrece un bonito contraste, ya que una prueba directa (o eso pensaba) no se sugiere fácilmente y la prueba contrapositiva es bonita y limpia.
Se puede decir que un número entero es impar si $2$ no aparece en su factorización prima,
desde $n$ es impar, $2$ no se produce en el $prime$ $factorization$ de $ n$ ,
si escribimos la factorización en primos de $n^2$ , $2$ tampoco se producirá en este caso, ya que $n^2$ tendrá los mismos factores primos que $ n$ pero con mayores poderes.
de ahí $n^2$ será impar por cada impar $ n$ .
Tenga en cuenta que este enfoque depende fundamentalmente de unicidad de factorización de primos. Algunas de las otras respuestas no dependen de esto; de hecho funcionan en cualquier anillo.
Casi todos los números enteros lo hacen. Invocar ese poderoso teorema para este sencillo problema es como abrir una castaña a mazazos.
Dos bits:
En primer lugar, para limpiar tu prueba, podrías hacer lo siguiente. Si $n^2 = 2a$ entonces, en particular $2 \mid n^2$ . $2$ es un primo, y por tanto tenemos al menos 1 de $2 \mid n$ o $2 \mid n$ . Claramente, uno pasa $\implies$ ambos suceden, y por tanto $2 \mid n$ . Así que $n$ es par.
En segundo lugar, ¿qué pasaría si no utilizáramos el contrapositivo?
$m$ es impar significa $m = 2k + 1$ para algunos $k$ . Entonces $m^2 = 4k^2 + 4k + 1$ .
Sugerencia $\rm\ \ n\ odd\:\Rightarrow\:2\ |\ n\!-\!1\ |\ n^2\! -\! 1\:\Rightarrow\,n^2\!-\!1\:$ es par, por lo que $\rm\,n^2\ is\ \ldots\ $ QED
Más conceptualmente, multiplicar por un entero impar preserva la paridad ya que $\rm\:(1\!+\!2k)n = n + 2kn\:$ deja el mismo resto que $\rm\:n\:$ cuando se divide por $2$ . Por lo tanto, un producto de enteros impar es impar.
En cuanto a su prueba, que impar $\rm\:n\ |\ 2a\:\Rightarrow\: n\ |\ a\ $ requiere justificación. Podrías utilizar el lema de Euclides, la factorización de primos o Bezout, por ejemplo. $\rm\:11\ |\ 2a\:\Rightarrow\:11\ |\ 6(2a)\!-\!11a\: =\: a,\:$ que utiliza la identidad de Bezout $\rm\: 1 = gcd(2,11) = 6\cdot 2 - 1\cdot 11.\:$ Es fácil generalizar que a partir de $11$ a cualquier número entero impar.
Sin embargo, ese planteamiento supone mucho más trabajo del necesario. Tenga en cuenta que
$$\rm n\ |\ 2a\iff \exists\ k\!:\ nk\ =\ 2a\iff \dfrac{a}n\: =\: \dfrac{k}2,\ \ \ so\ \ \ n\ |\ a\iff 2\ |\ k$$
En general, probar $\rm\:2\ |\ k\:$ es más fácil que $\rm\:n\ |\ a\:$ ya que sólo hay $2$ casos de residuos para probar el módulo $2$ es decir, cuanto más pequeño sea el divisor, más fácil será calcular el resto. De hecho, aquí es trivial por la prueba "más conceptual" anterior, a saber, puesto que $\rm\:n\:$ es impar, $\rm\:nk\:$ y $\rm\:k\:$ tienen la misma paridad, por lo tanto $\rm\:nk = 2a\:$ es incluso implica $\rm\:k\:$ es par. Así $\rm\:2\ |\ k,\:$ así que $\rm\:n\ |\ a.$
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¿Cómo sabes que a/n es un número entero?
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Tienes que considerar los dos casos de que n sea par o impar, y demostrar que sólo es posible el caso par.
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¿Son deberes? Si no es así, quizá sea más sencillo no utilizar un planteamiento contrapositivo. Sea $n = 2k+1$ y trabajar a partir de ahí.
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¡Ops! Cometí un error en la edición del título: escribí "Si mi.." en lugar de "Es mi..".
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Un número es par si tiene 2 como factor e impar en caso contrario, elevar un número a una potencia entera no añade factores a un número...
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(5+5+5+5)+5 = even+odd = odd.0 votos
Ya que @Patrick lo mencionó en un comentario a una respuesta más abajo, enlazaré a mi prueba directa de una línea del reciente " $n^2$ es par si $n$ es incluso" pregunta: math.stackexchange.com/a/119358/409