Hay un infinito dimensional real de la normativa de álgebra $A$ tal que $\|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|$ todos los $x,y \in A$?
Gracias.
Respuesta
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Depende de si usted asume la $A$ tener una unidad de elemento o no, y de si $A$ es asociativa o no.
Si $A$ tiene una unidad de elemento, a continuación, la respuesta es no, independiente de la asociatividad de $A$. Este es el resultado principal en el artículo
Kazimierz Urbanik y Fred B. Wright, Absoluta con valores de álgebras, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 11 (1960), 861-866.
Urbanik y Wright dar el ejemplo siguiente de un infinito-dimensional no-asociativo y no unital álgebra de Banach con la propiedad deseada: Fijar un bijection $\phi\colon \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$. Para $x, y \in \ell^2(\mathbb{N})$ definir $z = xy$$n = \phi(k,l)$$z_n = x_k \cdot y_l$. Entonces $$ \lVert z \rVert^2 = \sum_{n=1}^\infty z_n^2 = \sum_{k,l = 1}^\infty x_k^2 y_l^2 = \left(\sum_{k=1}^\infty x_k^2\right)\left(\sum_{i=1}^\infty y_k^2\right) = \lVert x\rVert^2 \lVert y\rVert^2 $$ muestra que con esta multiplicación $\ell^2(\mathbb{N})$ tiene la propiedad deseada.
Ver también este hilo en MathOverflow donde el documento mencionado en la respuesta por Faisal y la respuesta por Andreas Thom señala que Mazur demostrado que la única real, asociativas y de unital normativa de la división de álgebras son los conocidos $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$.
No sé si hay un asociativa no unital ejemplo, o no, puesto que la propiedad es destruido al pasar a la unificación.
