Dejemos que $(X,\mathcal B,\mu)$ sea un espacio de medida finita y consideremos el operador $T\colon L^2(X,\mu)\to L^2(X,\mu)$ dado por $Tf(x)=\varphi(x)f(x)$ , donde $\varphi\colon X\to\mathbb R$ es una función acotada y medible.
¿Hay alguna posibilidad de determinar explícitamente la medida espectral?
La medida espectral de $T$ es la medida $E(\Delta)=1_{\Delta}(T)$ , donde $\Delta$ es cualquier conjunto de Borel en el espectro de $T$ y $1_\Delta$ es la función característica de $\Delta$ .
En su caso, $T=M_\varphi $ . Utilizando el cálculo funcional, tenemos, para cualquier función acotada de Borel $g$ en $\sigma(T)=\text {ess ran}\,\varphi$ que $g(T)\,f=(g\circ\varphi)\,f$ para cualquier $f\in L^2(X,\mu)$ . Entonces $$ E(\Delta)f=1_\Delta(T)\,f=(1_\Delta\circ\varphi)\,f=1_{\varphi^{-1}(\Delta)}\,f. $$
Así, para cada conjunto de Borel $\Delta$ la proyección $E(\Delta)$ es el operador de multiplicación por la función $1_{\varphi^{-1}(\Delta)}$ .
Cómo se puede aplicar el cálculo funcional para demostrar que $g(T)f = (g \circ \varphi) f$ ?
@beno Una explicación fácil, pero no rigurosa, es la siguiente. La igualdad es obviamente válida para cualquier $g(t)=t^k$ . Por tanto, es válido para cualquier polinomio. Como los polinomios son densos en $C([a,b])$ entonces la igualdad $g(T)f=(g\circ\varphi)f$ es válida para cualquier $g$ . Entonces, para cualquier conjunto de Borel $A\subset[a,b]$ su función característica puede ser aproximada uniformemente por la continua, por lo que esta igualdad se mantiene para cualquier función característica $g$ . Dado que el tramo lineal de esta función característica es denso en el espacio de las funciones acotadas de Borel, entonces esta igualdad se mantiene para cualquier función acotada de Borel.
¿Cuál es la medida exacta procedente de la proyección espectral que ha mostrado? ¿Es la medida primaria $\mu$ con la que hemos empezado?
Poner para $M\in\mathcal B$ , donde $\mathcal B$ es el $\sigma$ -álgebra en $X$ , $E(M)=A_{\mathbf 1_M}$ donde, para $g\in L^{\infty}(\mu)$ , $A_g\colon L^2\to L^2$ $A_g(f)=fg$ . $E$ es una medida espectral, ya que
Ahora comprueba que $\int_f dE=A_f$ para todos $f\in L^{\infty}$ . $E$ se denomina medida espectral estándar.
Intenté demostrar que $<f,\int_{\sigma(A_{g})} dE f> = <f,A_{g}f>$ . Pero de alguna manera no funcionó. Llegué a la expresión
Intenté demostrar que $<f,\int_{\sigma(A_{g})} dE f> = <f,A_{g}f>$ . Pero de alguna manera no funcionó. Llegué a la expresión $<f,A_{g}f> = \int_{X} |f(x)|^{2} g(x) d \mu$ y $<f,E(M)f> = \int_{g^{-1}(M)} |f(x)|^{2} d \mu$ y de esto podría deducir que $d<f,\int \lambda dE f> = \int_{\sigma(A_{g})} \lambda d<f, E(\lambda)f>$ y de esto podría deducir que $d<f,E(\lambda)f> = |f(x)|^{2} \chi_{g^{-1}(\lambda)}(x) d \mu(\lambda)$ . ¿Cómo ir más allá?
Considere el espacio $B([a,b])$ de funciones acotadas de Borel. La dotaremos de topología localmente convexa. Sea $M([a,b])$ sea un espacio de Banach de medidas de Borel de valor complejo sobre $[a,b]$ . Para cada $\mu\in M([a,b])$ definimos una semi-norma $$ \Vert\cdot\Vert_\mu:B([a,b])\to\mathbb{R}_+: f\mapsto \int\limits_{[a,b]}f(t)d\mu(t). $$ La familia $\{\Vert\cdot\Vert_\mu:\mu\in M([a,b])\}$ da lugar a una topología Hausdorff localmente convexa en $B([a,b])$ . Denotaremos este espacio como $(B([a,b]),wm)$ .consideren $\mathcal{B}(H)$ con topología de operador débil y denotar este espacio $(\mathcal{B}(H),wo)$ .
Un continuo $*$ -homorfismo $\gamma_{b,T}:(B([a,b]),wm)\to(\mathcal{B}(H),wo)$ tal que $\gamma_{b,T}(id_{[a,b]})=T$ se denomina cálculo funcional de Borel del operador $T$ .
Teorema Existe un único cálculo funcional de Borel $\gamma_{b,T}:(B([a,b]),wm)\to(\mathcal{B}(H),wo)$ . Además se trata de un homomorfismo involutivo contractivo de álgebras involutivas que extiende el cálculo continuo sobre $[a,b]$ .
Denote $H=L^2(X,\mu)$ . Desde $\varphi\colon X\to\mathbb{R}$ es una función medible acotada, entonces $T$ es un operador autoadjunto acotado. Por lo tanto, $\sigma(T)\subset\mathbb{R}$ . Desde $T$ es autoadjunto entonces existe algún intervalo $[a,b]$ tal que $\sigma(T)\subset[a,b]$ . Ahora dejemos que $\gamma_{b,T}$ sea el cálculo funcional de Borel sobre $[a,b]$ entonces podemos definir la medida espectral mediante el siguiente procedimiento. Para cada conjunto de Borel $A\subset [a,b]$ definimos su medida espectral $E(A)$ por la igualdad $$ E(A)=\gamma_{b,T}(1_{A\cap[a,b]}). $$ donde $1_{A\cap[a,b]}$ es una función característica de $A\cap[a,b]$ .
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