Demostrar que $8640$ divide $n^9 - 6n^7 + 9n^5 - 4n^3$ .

Question

Encontré este problema en un libro, lamentablemente no puedo resolverlo. Demostrar que para todos los valores enteros $n$ , $n^9 - 6n^7 + 9n^5 - 4n^3$ es divisible por $8640.$ Hasta ahora he notado que $8460 = 6! \times 12$ Además, he intentado simplificar esa expresión y he descubierto que es igual a esto $n^3(n^3-3n-2)(n^3-3n+2)$ pero no puedo seguir adelante después de eso.

Answer 1

$$ \begin{align} &n^9-6n^7+9n^5-4n^3\\ &\small=362880\binom{n}{9}+1451520\binom{n}{8}+2298240\binom{n}{7}+1814400\binom{n}{6}\\ &\small+734400\binom{n}{5}+138240\binom{n}{4}+8640\binom{n}{3}\\ &=\small8640\left[42\binom{n}{9}+168\binom{n}{8}+266\binom{n}{7}+210\binom{n}{6}+85\binom{n}{5}+16\binom{n}{4}+\binom{n}{3}\right] \end{align} $$

Answer 2

Además, podemos observar que $-1$ es una raíz de $n^3-3n-2$ y que $1$ es una raíz de $n^3-3n+2$ .

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Puedes encontrar estas raíces mediante el teorema de la raíz racional:

Teorema de la raíz racional. Todas las raíces racionales tienen la forma $\frac{p}{q}$ con $p$ un divisor del término constante y $q$ un divisor del primer coeficiente.

También se pueden encontrar otras técnicas en esta pregunta y sus respuestas .

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Entonces lo simplificamos a \begin{align*} n^3(n+1)(n^2-n-2)(n-1)(n^2+n-2) &= n^3(n+1)(n-2)(n+1)(n-1)(n+2)(n-1)\\ &=n^3(n+1)^2(n-1)^2(n-2)(n+2) \end{align*}

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Hay 6 factores dos en 8640.

• Si $n$ está en paz, $n, n-2$ y $n+2$ son pares, y además al menos uno de ellos es divisible por $4$ , lo que da 6 factores 2.
• Si $n$ es impar, $n-1$ y $n+1$ son pares, y además al menos uno de ellos es divisible por $4$ , lo que da 6 factores 2.

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Hay 3 factores tres en 8640.

• Si $n \equiv 0 \mod 3$ entonces $n$ es divisible por 3, y entonces $27 \mid n^3$ .
• Si $n \equiv 1 \mod 3$ entonces $n-1$ y $n+2$ son divisibles por 3.
• Si $n \equiv 2 \mod 3$ entonces $n+1$ y $n-2$ son divisibles por 3.

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El factor 5 se puede tener en cuenta ya que el producto es un múltiplo de cinco enteros consecutivos, es decir, un producto de $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ .

Answer 3

Si se hace una factorización completa se obtiene $$n^96n^7+9n^54n^3=n^3(n-2)(n-1)^2(n+1)^2(n+2)$$ y $$8640=2^6\cdot 3^3\cdot 5$$ Ahora sólo hay que ver diferentes casos. Para $2\mid n$ tenemos $2^3\mid n^3$ , $2\mid n-2$ , $2\mid n+2$ y $n-2$ ou $n+2$ tiene el factor $2^2$ , por lo que obtenemos $2^6\mid n^96n^7+9n^54n^3$ . Hazlo por el caso $n$ impar y para los otros factores en un estilo similar.

Answer 4

Pistas:

• Obsérvese, por ejemplo $n^3-3n+2 = (n-1)(n^2-n-2) = (n-1)(n+1)(n-2)$ . Se puede factorizar completamente a un producto de términos como $(n-1)$ y $(n+2)$ . Hazlo
• ¿Cuántas potencias de $5$ ¿debe tener el producto?
• ¿Cuántas potencias de $3$ ? ¿Cuántas potencias de $2$ ? Obsérvese, por ejemplo, que uno de los dos números pares consecutivos es múltiplo de $4$