La probabilidad de redondeo de una fracción a un número

Question

En un cuestionario la siguiente pregunta :

""Vamos a x e y dos números aleatorios entre 0 y 1. ¿Cuál es la probabilidad de que $\frac{x}{y}$ se redondea a un número par?""

Mi amigo calcula que la respuesta $$\frac{5}{4}-\frac{\pi}{4}$$

que es aproximadamente igual a 46 por ciento. No sé si su respuesta es sin duda correcto, pero no podía encontrar cualquier error en su razonamiento o cálculo. Así que mi pregunta se plantea de la siguiente manera:

Puesto que x/y tiene valores que van desde $0$ hasta el infinito, ¿por qué no la probabilidad de redondeo de x/y para un número par o impar de igualdad.

$\mathbf{EDIT:}$Mi amigo usó probabilidad de espacios en su respuesta. Él se trazan los dos números x y y en un gráfico con x e y variables de$0$$1$. Esto nos da una unidad cuadrada. A continuación, se calcula el área de las regiones de la plaza que sastisfied la condición de que x/y se redondea a un número par. Esto le dio un número infinito de triángulos con la disminución de la zona. Él aplicó suma de las áreas de los triángulos para obtener la respuesta.

Answer 1

La probabilidad de que $\frac{x}{y}$ rondas de a $0$, yo.e que $ 2x \lt y$$\frac14$.

La probabilidad de que $\frac{x}{y}$ rondas de a $2$ , yo.e que $3y \le 2x \lt 5y$$\frac13-\frac15$, y del mismo modo que se redondeo a $4$$\frac17-\frac19$,$6$$\frac1{11}-\frac1{13}$, y así sucesivamente.

Desde $1 - \frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}+\frac1{13}- \cdots = \frac\pi{4}$, la probabilidad de redondeo de un número par es $\frac{1}{4}+1-\frac\pi{4}$ que es el resultado de su amigo había.

Su amigo diagrama probablemente se veía algo como esto

con el negro de las áreas correspondientes a "redondeo al par". No hay ninguna razón para esperar que el negro y el blanco a ser el mismo: redondeo a $1$ con una probabilidad de $\frac{5}{12}$ es más probable que cualquier otro resultado.

Como empírico comprobar la utilización de R:

set.seed(1)
cases <- 1000000
x <- runif(cases)
y <- runif(cases)
z <- round(x/y, 0)
mean( z/2 == floor(z/2) ) # even

da

0.464628

en comparación con $\frac{5}{4}-\frac{\pi}{4} \approx 0.4646018$.