Se me ocurre que la gente más probable es que ya sabes cómo integrar de forma explícita sobre los fractales, pero mi método (edit: parece que se han puesto de relieve en un papel, ver comentarios) parece que simplifican enormemente el proceso (por Lo que incluso una comparativa laico como yo puede hacerlo).
En primer lugar, vamos a ser la integración con respecto a la medida, dado que el conjunto de cantor es, obviamente, discontinuo. También voy a interpretar el resultado de integrar el conjunto de cantor como $1.63...=1+0.63$ dimensiones (corríjanme si estoy equivocado). Si usted está interesado, he estado investigando esto por un momento: la inspiración y la investigación.
Queremos encontrar a $\int_C f(x) d \mu(x)$ donde la integral se toma sobre todo el conjunto de cantor. Vamos a dejar de $f(x)=x$ a empezar. Este es mi truco, en lugar de evaluar directamente la integral, redefinir la integral en términos de sí mismo. El conjunto de cantor es idéntico en virtud de una transformación que terceras partes de la longitud de la serie y los lugares en $0$ y uno en $2/3$. Vamos a utilizar ahora.
$$\int_C x \ d\mu (x)=\int_{C/3} x \ d\mu (x)+\int_{C/3} x+{2 \over 3} \ d\mu (x+{2 \over 3})$$
La medida que estamos utilizando es uniforme y definido para evaluar a 1 en el esquema de integración, por lo que podemos simplificar la parte de la mano derecha.
$$\int_C x \ d\mu (x)=\int_{C/3} x \ d\mu (x)+\int_{C/3} x+{2 \over 3} \ d\mu (x)=2 \cdot \int_{C/3} x \ d\mu (x)+\int_{C/3} {2 \over 3} \ d\mu (x)$$
Ahora hacer esto de forma recursiva.... $$\int_{C} x \ d\mu (x)=4 \cdot \int_{C/9} x \ d\mu (x)+2 \cdot \int_{C/9} {2 \over 9} \ d\mu (x)+\int_{c/3} {2 \over 3} \ d\mu(x)$$
$$\int_{C} x \ d\mu (x)=8 \cdot \int_{C/27} x \ d\mu (x)+4 \cdot \int_{C/27} {2/27} \ d\mu (x)+2 \cdot \int_{C/9} {2 \over 9} \ d\mu (x)+\int_{c/3} {2 \over 3} \ d\mu(x)$$
Tiempo para supuestos. Voy a asumir que el primer término de esta última serie infinita se convierte en 0, y vamos a quedar con...
$$\int_{C} x \ d\mu (x)=0+2^{N-1} \cdot \int_{C/{3^N}} {2 \over {3^N}} \ d\mu (x)+...+4 \cdot \int_{C/27} {2 \over 27} \ d\mu (x)+2 \cdot \int_{C/9} {2 \over 9} \ d\mu (x)+\int_{c/3} {2 \over 3} \ d\mu(x)$$
Donde N indica el número de veces que la ecuación ha sido reiterado. Ahora observe que cuando usted tercio del conjunto de cantor, que sólo la mitad de la medida del conjunto resultante...
$$\Rightarrow \int_{C} x \ d\mu (x)=\sum_{j=1}^N \left( {{2^{j-1}} \cdot 2} \over {3^j \cdot 2^j} \right)$$
Como $N$ enfoques infinito, esta suma converge a ${1 \over 2}$
$$\Rightarrow \int_{C} x \ d\mu (x)={1 \over 2}$$
Preguntas:
¿Puedo obtener el resultado correcto? Me esperaba algo diferente de 1/2 ya que el conjunto de cantor tiene una dimensionalidad diferente que una línea típica. Mi método parece ser capaz de manejar más que el ternario conjunto de cantor, en el hecho de que también da resultados consistentes cuando se aplica a la línea.
También debo mencionar que ya sabemos el valor de $f(x)=x$ podemos derivar el resultado de $f(x)=x^2$ en una manera muy similar.
