Encuentre para qué valores de $b$ cada dos soluciones $y_1,y_2$ de la ecuación $y''+y'+by=\cos x$ satisfacer $$\lim_{x\to\infty}\frac{y_1(x)-y_2(x)}{e^x}=0$$
Mi intento :
Como la diferencia de cada dos soluciones de la ecuación original es una solución de la ecuación homogénea $y''+y'+by=0$ sólo nos interesan las soluciones de esta última. Las raíces características son:
$$m_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4b}}{2}$$
Si $b=1/4$ entonces $m_{1,2}=-1/2$ por lo que la solución general homogénea es $y_h(x)=(C_1+C_2x)e^{-x/2}$ y $$\lim_{x\to\infty}\frac{(C_1+C_2x)e^{-x/2}}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{C_1+C_2x}{e^{3x/2}}=0$$
Si $0 \leq b < \frac{1}{4}$ entonces $0<\sqrt{1-4b}\leq 1$ y así tenemos dos raíces reales distintas no positivas (al menos una es estrictamente negativa). Por tanto, la solución general homogénea es $$y_h(x)=C_1 e^{m_1 x}+C_2e^{m_2 x}=\frac{C_1}{e^{|m_1|x}}+\frac{C_2}{e^{|m_2|x}}$$
Así que $$\lim_{x\to\infty}\frac{y_h(x)}{e^x}=\lim_{x\to\infty} \left( \frac{C_1}{e^{(|m_1|+1)x}}+\frac{C_2}{e^{(|m_2|+1)x}} \right )=0$$
Si $b<0$ entonces $\sqrt{1-4b}>1$ tenemos dos raíces reales distintas (con signos opuestos). Si $m_1<0$ y $m_2>0$ entonces la solución general homogénea es $$y_h(x)=C_1 e^{m_1 x}+C_2e^{m_2 x}=\frac{C_1}{e^{|m_1|x}}+C_2e^{m_2 x}$$
Por lo tanto,
$$\lim_{x\to\infty}\frac{y_h(x)}{e^x}=\lim_{x\to\infty} \left( \frac{C_1}{e^{(|m_1|+1)x}}+C_2e^{(m_2-1) x} \right )=0 \iff m_2<1 \iff b>-2$$
Si $b>\frac{1}{4}$ entonces hay dos raíces complejas de la forma $-\frac{1}{2}\pm i\beta$ por lo que la solución general homogénea es $$y_h(x)=e^{-x/2} (C_1 \cos (\beta x)+C_2 \sin (\beta x))$$
Por lo tanto,
$$\lim_{x\to\infty}\frac{y_h(x)}{e^x}=\lim_{x\to\infty} \left( e^{-3x/2} (C_1 \cos (\beta x)+C_2 \sin (\beta x)) \right )=0$$
En conclusión para todos $b>-2$ cada dos soluciones $y_1,y_2$ de la ecuación $y''+y'+by=\cos x$ satisfacer $$\lim_{x\to\infty}\frac{y_1(x)-y_2(x)}{e^x}=0$$
¿Es correcto? Si es así, ¿hay alguna forma más fácil de resolver este problema?
