¿Esta serie que implican seno convergen o divergen?

Question

He estado tratando de demostrar la convergencia de esta serie, pero me parece que no puede encontrar una manera de hacerlo. $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\cdot \sin\frac{(-1)^k}{1+k^2}$$

Answer 1

Utilizando el límite de la prueba de comparación por el siguiente:

$$a_k=\frac{\sin\frac1{k^2+1}}k\;\;,\;\;\;b_k:=\frac1{k^2+1}\implies \frac{a_k}{b_k}=\frac1k\frac{\sin\frac1{k^2+1}}{\frac1{k^2+1}}\xrightarrow[k\to\infty]{}0\cdot1=0$$

por lo $\;\sum a_k\;$ converge porque $\;\sum b_k\;$ hace, y por lo tanto su serie converge absolutamente ( desde

$$\;\left|\sin\cfrac{(-1)^k}{k^2+1}\right|=\sin\cfrac1{k^2+1}\;)$$

y luego converge.

Answer 2

Ya para $k\geq 1$, $$\left|\frac{1}{k}\cdot \sin\left(\frac{(-1)^k}{1+k^2}\right)\right|=\frac{1}{k}\cdot \sin\left(\frac{1}{1+k^2}\right)\sim \frac{1}{k}\cdot\frac{1}{1+k^2}\sim \frac{1}{k^3}$$ y $3>1$, entonces la serie converge absolutamente y por lo tanto también es convergente.

Answer 3

Tenga en cuenta que $\sin((-1)^k/(1+k^2))=\sin(1/(1+k^2))$ si $k$ es incluso y $-\sin(1/(1+k^2))$ $k$ es impar. Además, como $k\to\infty$ tenemos $(1/k)\sin(1/(1+k^2))\downarrow0$. Así que usted está en la forma de $\sum_na_n$ donde $a_n$ alternados, $a_n\to0$. Así por Leibnitz prueba de la serie converge.