Cómo sustituir los dados de 8 caras por otros dados

Question

La pregunta exacta es: Necesitas un dado de 8 caras para un juego. Sólo tienes una moneda, dos dados de cuatro caras y uno de 10 caras. ¿Cómo se puede sustituir el dado de 8 caras? No se permite repetir las tiradas.

Me han dicho que hay varias soluciones para esto, yo encontré una, pero mi solución no era una de las esperadas. ¿Qué soluciones se te ocurren?

Mi solución fue:

Tira un dado de 10 caras y 2 de 4 caras, suma el resultado y tira y resta un dado de 2 caras (la moneda) que divides por 2 al final para obtener el resultado (redondea)

Answer 1

No sólo hay que generar números entre el 1 y el 8, sino también asegurarse de que están distribuidos uniformemente.

Su solución no produce resultados uniformemente distribuidos (al menos según MJD, en los comentarios).

Sin embargo, este procedimiento sí lo hace: puedes lanzar un dado de 4 caras para obtener un valor entre 1 y 4, y luego lanzar una moneda: si sale cara, suma 4 al resultado.

Es fácil ver que cada número del 1 al 8 se produce exactamente con un resultado: por ejemplo, un resultado de 3 requiere una tirada de 3 y un lanzamiento de cruz, mientras que un resultado de 5 requiere una tirada de 1 y un lanzamiento de cara.

Answer 2

Existen esencialmente tres formas básicas de generar un número a partir de $\{1\dots k\}$ para $k\ne n$ con un $n$ -que preserva la probabilidad uniforme de todos los resultados:

• Truncamiento: si $k\lt n$ puede simplemente ignorar (volver a tirar) los resultados superiores a $k$
• División: si $n=mk$ para algún número entero $m$ puede designar $m$ resultados diferentes como dar un resultado $i$ para $1\le i\le k$ (es decir, para simular una $3$ -con un troquel de $6$ -sin duda, se puede designar $\{1,2\}\rightarrow 1$ , $\{3,4\}\rightarrow 2$ y $\{5,6\}\rightarrow 3$ )
• Exponenciación: si $k=n^m$ para algún número entero $m$ puedes tirar el dado $m$ veces, interpretando los resultados como los dígitos de un $m$ -Número entero de dígitos en base $n$ (e interpretar un resultado de $n$ como $0$ y una cadena de todos los $0$ 's como $k$ ) Ejemplo: dados de percentil

Se puede utilizar cualquier combinación de ellas, por lo que, por ejemplo, se podría simular un $8$ -con un troquel de $6\text{-sided}$ mueren por exponenciación en 2 (simulando un $36$ -de la cara) seguido de la división por 4 (simulando un $9$ -) seguido de un truncamiento a $8$ . Como tienes varios dados para empezar, son posibles más soluciones, pero sólo necesitas un dado. Por ejemplo, puedes simular un $n\text{-sided}$ morir por cualquier $n$ con sólo una moneda utilizando la exponenciación (generando cadenas binarias con cabeza $\rightarrow 1$ y la cola $\rightarrow 0$ ) y el truncamiento (volver a tirar los resultados superiores a $n$ ), y en sentido contrario, se puede simular una moneda con un $n$ -sin duda, un troquel para cualquier $n\ge 2$ por truncamiento a un número par (si $n$ es impar), seguido de la división a $2$ .

Si se tienen varios tamaños de dados, la exponenciación se puede generalizar a la multiplicación (como se utiliza en la respuesta aceptada): si $k=mn$ , y tienes dados de tamaños $m$ y $n$ puede hacer rodar el $n$ -(interpretando un resultado de $n$ como $0$ ) y añadir $n$ veces el resultado de tirar el $m$ -sin duda, un troquel de cara a la interpretación $m$ como $0$ ), e interpretar $0$ como $k$ . En la respuesta aceptada $n=4$ , $m=2$ y $k=8$ pero una solución alternativa sería utilizar $n=2$ y $m=4$ por lo que podría (por ejemplo) hacer rodar el $4$ -sin duda, un troquel de cara a la interpretación $4$ como 0), multiplicar el resultado por $2$ luego agrega $1$ si sale cara, e interpreta un resultado global de $0$ (es decir $[4,\text{tails}]$ ) como $8$ . Es equivalente (y más sencillo) multiplicar el $\text{d}4$ resultado por $2$ y restar $1$ si se lanza la cola.

Answer 3

Tira el D10 y si sacas 9 o 10, vuelve a tirar. Es fácil de recordar y de hacer. Y da resultados uniformes.

Answer 4

Estoy asumiendo que todos los dados (contando la moneda como un dado de 2 caras) se tiran en paralelo, y no se permite volver a tirar. Utilizaré la notación estándar D $n$ para un $n$ -su cara (D2 para la moneda).

Como tenemos que simular un D8, que es una potencia de 2, necesitamos multiplicar distribuciones uniformes con potencias de 2; podemos considerarlas como bits aleatorios.

• El D2 entrega un bit aleatorio.

• Cada D4 entrega dos bits aleatorios.

• El D10 entrega sólo un bit aleatorio, ya que 2 es la mayor potencia de 2 que divide a 10. Dado que no se permiten las repeticiones de tirada, el factor 5 es inútil para generar distribuciones uniformes para potencias de 2.

Así que tenemos 6 bits en total, de los cuales podemos seleccionar 3 arbitrarios para generar una sola tirada de D8.

Por ejemplo, puedes utilizar un D4 (2 bits) y el D2 (1 bit) para obtener 3 bits (esta es la solución que dieron otras respuestas).

También se pueden tomar los dos D4, y utilizar sólo un bit para uno de ellos, por ejemplo sumando 4 al resultado del segundo D4 si el primer D4 da un resultado impar.

O podría seleccionar 3 dados arbitrarios, y tomar su valor de bits como 0 si el resultado de la tirada es par y 1 si el resultado es impar, y luego a partir de los tres bits formar $4a+2b+c+1$ donde $a$ , $b$ y $c$ son los bits derivados de los tres dados.

De hecho, ¡podrías utilizar los cuatro dados dados para simular que lanzas dos D8 en paralelo!

Answer 5

Denotemos lo siguiente:

• $a$ : el valor de la $10$ -sided die , i.e, $a\in[1,10]$
• $b$ el valor de la 1a. $4$ -su cara, es decir, $b\in[1,4]$
• $c$ el valor de la 2a. $4$ -su cara, es decir, $c\in[1,4]$
• $d$ : el valor de la $2$ -una moneda de dos caras, es decir, $d\in[1,2]$

Entonces el valor del $8$ -en función de las variables anteriores es:

$$f(a,b,c,d)=[32(a-1)+8(b-1)+2(c-1)+(d-1)]\bmod8+1$$

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Aquí hay un breve script que confirma la distribución uniforme:

dict = {1:0,2:0,3:0,4:0,5:0,6:0,7:0,8:0}

for a in range(1,10+1):
    for b in range(1,4+1):
        for c in range(1,4+1):
            for d in range(1,2+1):
                dict[(32*(a-1)+8*(b-1)+2*(c-1)+(d-1))%8+1] += 1

print dict

La salida es {1: 40, 2: 40, 3: 40, 4: 40, 5: 40, 6: 40, 7: 40, 8: 40} .