Recordemos que las caras de associahedra son indexados por planar árboles aka configuraciones de no interesecting de las diagonales de los polígonos. Y la incidencia corresponde a la contratación de los bordes / extracción de las diagonales.
Los vértices de associahedra también pueden ser indexados por los Dyck caminos. ¿Cuál es la correspondiente interpretación de las caras? ¿Cómo puede incidencia se describe en estos términos?
Algunos pensamientos. En realidad, estoy bastante seguro de que las caras están catalogados por el (pequeño) Schröder caminos.
Heurística explicación: los bordes corresponden a "de primaria de los interruptores" y la mayoría de transformación natural que uno puede hacer a un Dyck camino es cambiar de RU<->UR (R de pie para un paso a la derecha, U - un paso, por supuesto); vamos a marcar el lugar de los interruptores por diagonal pasos - ahora llegamos Schröder caminos (pequeño Schröder caminos, en realidad: diagonal de pasos no puede mentir sobre la diagonal principal - o el "UR final" del interruptor se cruzarían la diagonal principal). Tenga en cuenta que esta heurística también se describe la incidencia en la relación, pero esta descripción es claramente errónea: se predice que el vértice $R^nU^n$ se encuentra sólo en uno de los bordes (es decir, en la $U^{n-1}DR^{n-1}$).
Recordemos que bijection entre los no-asociativo productos y Dyck, rutas de acceso está dado por la notación polaca Inversa - así que cambia debe corresponder no a las esquinas, pero sólo para vertical pasos (y la simetría entre horizontal y vertical de los pasos que se rompe). De todos modos, ahora no es difícil escribir algunos ejemplos. 2-associahedron aka pentágono, por ejemplo: el orden cíclico de los vértices que viene de $$((ab)c)d\to (a(bc))d\to a((bc)d)\to a(b(cd))\to (ab)(cd)\to$$ es $$RURURU\to RRUURU\to RRURUU\to RRRUUU\stackrel{(!)}\to RURRUU\to $$ (nota el paso (!) el no estar de acuerdo con los ingenuos heurística).
Pero no tengo idea de cómo describir la incidencia de la relación en el caso general.
