La condición de Mittag-Leffler y $\varprojlim^1$

Question

Recordemos que un inversa sistema de abelian grupos $$\cdots \rightarrow G_2 \stackrel{\alpha_2}{\rightarrow} G_1 \stackrel{\alpha_1}{\rightarrow} G_0$$ is said to satisfy the Mittag-Leffler condition if, for each $i$, there exists a number $N$ such that the image of $G_{i+n} \rightarrow G_i$ is invariant for all $n \geq N$ (the map is obviously the composition $\alpha_{i+n} \circ \cdots \circ \alpha_{i+1}$).

Estoy tratando de demostrar que, dado un sistema que satisface esta condición, $\varprojlim^1G_i = 0$. Recordemos que $\varprojlim^1 G_i$ se define como el cokernel del mapa $$\delta \colon \prod_i G_i \rightarrow \prod_i G_i$$ given by $(\ldots, g_i, \ldots) \mapsto (\ldots, g_i - \alpha_{i+1}(g_{i+1}), \ldots)$.

He pasado de una media hora, tratando de mostrar que $\delta$ es surjective, pero no he llegado muy lejos con esto. Yo en realidad no necesita este resultado ahora - todos los morfismos en el otro sistema que me cuenta son surjective, y es trivial demostrar que $\varprojlim^1$ muere en este caso - así que voy a dejarlo y pasar por ahora, pero ¿alguien tiene una prueba que podría compartir? Me siento como si sólo se necesita un poco de pensamiento ejercida sobre él, pero el pensamiento es un bien escaso en las tardes de los viernes... $\ddot \smile$

Answer 1

No sé si hay una prueba directa, pero uno puede demostrar que las cosas indirectamente, de la siguiente manera:

Si uno tiene una corta secuencia exacta $0\to \mathcal{A}\to \mathcal{B}\to \mathcal{C}\to 0$ de los inversos de las secuencias, entonces la serpiente lema de los rendimientos de una secuencia exacta

$$ 0 \to {\displaystyle\lim_{\longleftarrow}}\mathcal{A} \to {\displaystyle\lim_{\longleftarrow}}\mathcal{B} \to{\displaystyle\lim_{\longleftarrow}}\mathcal{C} \to{\displaystyle\lim_{\longleftarrow}}^1\mathcal{A} \to{\displaystyle\lim_{\longleftarrow}}^1\mathcal{B} \to{\displaystyle\lim_{\longleftarrow}}^1\mathcal{C} \to 0$$

Usted sabe que ${\displaystyle\lim_{\longleftarrow}}^1\mathcal{A}$ se desvanece cuando los mapas son surjective. El siguiente paso es mostrar que se desvanece al $\mathcal{A}$ satisface el trivial ML-condición, es decir, cuando las imágenes son eventualmente, todos los $0$. Por último, si $B_i$ es la eventual imagen dentro de $A_i$, podemos observar en la secuencia exacta corta

$$0\to \mathcal{B}\to \mathcal{A}\to \mathcal{A}/\mathcal{B}\to 0$$

El primer término tiene surjective mapas y el último satisface trivial ML.