Las diez dimensiones del caso es explicado en detalle en el apéndice 4.Una de volumen de uno de Verde-Schwarz-Witten. Permítanme, por tanto, considerar la 4d caso aquí. El cálculo funciona básicamente de la misma en 3d, 6d y 10d, aunque a veces se puede hacer uso de Majorana y/o Weyl condiciones de la spinors para simplificar las cosas.
Queremos comprobar que la expresión
\begin{equation*}
f_{abc} \bigl(
\bar{\lambda}^a \gamma_{\mu} \lambda^b \, \bar{\epsilon} \, \gamma^{\mu} \lambda^c
-
\bar{\lambda}^a \gamma_{\mu} \lambda^b \, \bar{\lambda}^c \gamma^{\mu} \epsilon
\bigr)
\tag{1}
\end{ecuación*}
se desvanece, donde $\lambda^a$ $\epsilon$ son de cuatro dimensiones Majorana spinors. Para mostrar el siguiente identidades con la participación de cuatro dimensiones gamma matrices y arbitraria spinors será útil
\begin{align*}
\bar{\varphi} \, \psi &= + \bar{\psi} \, \varphi , \tag{2a} \\
\bar{\varphi} \, \gamma^{\mu} \, \psi &= - \bar{\psi} \, \gamma^{\mu} \, \varphi , \tag{2b} \\
\bar{\varphi} \, \gamma^{\mu\nu} \, \psi &= - \bar{\psi} \, \gamma^{\mu\nu} \, \varphi , \tag{2c} \\
\bar{\varphi} \, \gamma^{\mu\nu\rho} \, \psi &= + \bar{\psi} \, \gamma^{\mu\nu\rho} \, \varphi , \tag{2d} \\
\bar{\varphi} \, \gamma^{0123} \, \psi &= + \bar{\psi} \, \gamma^{0123} \, \varphi , \tag{2e}
\end{align*}
donde, por ejemplo,., $\gamma^{\mu\nu} = \frac{1}{2} ( \gamma^\mu\gamma^\nu - \gamma^\nu\gamma^\mu)$.
El uso de la segunda identidad, vemos que los dos términos en (1) son iguales.
El uso de la antisymmetry de $f_{abc}$ podemos reescribir (1) como
\begin{equation*}
( \bar{\lambda}^a \gamma_\mu \lambda^b ) ( \bar{\epsilon} \, \gamma^\mu \lambda^c )
+
( \bar{\lambda}^c \gamma_\mu \lambda^a ) ( \bar{\epsilon} \, \gamma^\mu \lambda^b )
+
( \bar{\lambda}^b \gamma_\mu \lambda^c ) ( \bar{\epsilon} \, \gamma^\mu \lambda^a ) ,
\end{ecuación*}
o, si queremos eliminar el spinors,
\begin{equation*}
(\gamma^0 \gamma_\mu)_{\alpha\beta} (\gamma^0 \gamma^\mu)_{\gamma\delta}
+
(\gamma^0 \gamma_\mu)_{\delta\alpha} (\gamma^0 \gamma^\mu)_{\gamma\beta}
-
(\gamma^0 \gamma_\mu)_{\beta\delta} (\gamma^0 \gamma^\mu)_{\gamma\alpha} .
\end{ecuación*}
Finalmente contratamos esta expresión con dos arbitraria spinors $\psi^\alpha$ $\varphi^\beta$ a obtener (aquí también he eliminado un total $\gamma^0$ y reordenar el segundo término ligeramente)
\begin{equation*}
( \bar{\psi} \, \gamma_\mu \varphi ) ( \gamma^\mu )^\gamma{}_\delta
+
( \bar{\psi} \, \gamma_\mu )_\delta ( \gamma^\mu \varphi )^\gamma
-
( \bar{\varphi} \, \gamma_\mu )_\delta ( \gamma^\mu \psi )^\gamma .
\tag{3}
\end{ecuación*}
La idea es que ahora piense en esto como una $4 \times 4$ matriz. Una base de tales matrices es dada por el 16 de matrices
\begin{equation*}
1 , \quad \gamma^\mu , \quad \gamma^{\mu\nu} , \quad \gamma^{\mu\nu\rho} , \quad \gamma^{0123} .
\tag{4}
\end{ecuación*}
Esta base es ortogonal en el sentido de que si llamamos a los dieciséis matrices $\gamma^{(I)}$,$I=1,\dots,16$, luego
\begin{equation*}
\operatorname{Tr}\, \bigl( \gamma^{(I)} \gamma^{(J)} \bigr) = \operatorname{Tr} \, \bigl( \gamma^{(I)} \gamma^{(I)} \bigr) \, \delta^{IJ} .
\end{ecuación*}
Por lo tanto, para probar que (3) se desvanece podemos comprobar que tenemos cero a la hora de contratar con cada una de las matrices en (4).
Es fácil ver que el primer término de (3) es cero a menos que el contrato con un único gamma de la matriz, así que hagamos un primer contrato con $\gamma^\nu$. A continuación, obtener
\begin{equation*}
( \bar{\psi} \, \gamma_\mu \varphi ) \, \operatorname{Tr}\, \bigl( \gamma^\mu \gamma^\nu \bigr)
+
\bar{\psi} \, \gamma_\mu \gamma^\nu \gamma^\mu \varphi
-
\bar{\varphi} \, \gamma_\mu \gamma^\nu \gamma^\mu \psi
=
4 \eta^{\mu\nu} \bar{\psi} \, \gamma_\mu \varphi - 2 \, \bar{\psi} \, \gamma^\nu \varphi + 2 \, \bar{\varphi} \, \gamma^\nu \psi
=
0 ,
\end{ecuación*}
donde he utilizado la ecuación (2b), así como la segunda de las siguientes relaciones útiles para las cuatro dimensiones de la gamma matrices
\begin{align*}
\gamma_\mu \gamma^\mu &= 4 , \tag{5a} \\
\gamma_\mu \gamma^{\nu} \gamma^\mu &= -2\gamma^\nu , \tag{5b} \\
\gamma_\mu \gamma^{\nu\rho} \gamma^\mu &= 0 , \tag{5c} \\
\gamma_\mu \gamma^{\nu\rho\sigma} \gamma^\mu &= +2\gamma^{\nu\rho\sigma} , \tag{5d} \\
\gamma_\mu \gamma^{0123} \gamma^\mu &= -4\gamma^{0123} . \tag{5e}
\end{align*}
Si por el contrario nos contrato (3) con $\gamma^{\nu\rho}$ cada término se desvanece por separado debido a la ecuación (5c). En los tres casos restantes (contratación con $1$, $\gamma^{\nu\rho\sigma}$ o $\gamma^{0123}$), el primer término de (3) es igual a cero y el segundo dos términos se cancelan uno al otro por el signo positivo en (2a), (2d) y (2e).
Ahora hemos demostrado que todos los componentes de la $4 \times 4$ de la matriz en (3) se desvanecen. Desde el spinors $\psi$ $\varphi$ fueron arbitrarias esto significa que (1) es cero así.
El procedimiento anterior de expansión en una base de (productos de) gamma matrices son equivalentes, pero más transparente que, mediante Fierz identidades.
