Definición de tangente

Question

¿Cuál es la definición formal de una tangente a una curva? El único que encuentro es que es una línea recta trazada entre dos puntos infinitamente cercanos de la curva.

Answer 1

La línea tangente a la gráfica de una función derivable en un punto es la gráfica de los locales de la aproximación lineal de la función en ese punto.

"Diferenciable" significa exactamente "localmente linealmente approximable," así que esto tiene sentido.

Le puede interesar que la palabra "tangente" en última instancia proviene del latín tangens, participio presente de tangere "tocar", lo que significa "tocar".

La palabra "secante", lo mismo que proviene del latín secans, participio presente de secāre "cortar", lo que significa "cortar".

Answer 2

El OP parece estar en lo cierto al suponer que la forma más intuitiva de aproximación a la línea tangente es a través de un par de infinitamente cerca de los puntos de la curva. Para ser completamente precisos, se debe tener la sombra de esa línea para obtener la tangente de la línea; es decir, la línea a través de un par de infinitamente cerca de puntos es infinitesimalmente fuera de la línea tangente. Para decirlo de otra manera, se "redondea" de la línea a través de un par de infinitamente cerca de los puntos más cercana a la real de la pendiente para obtener la recta tangente. Ver Keisler para más detalles.

Answer 3

Suponiendo que la función % de la gráfica $\;f\;$es diferenciable en un punto $\;(x_0,f(x_0))\;$, la línea tangente a esa gráfica en su punto es definida para ser la línea recta

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

Por qué se llama "tangente" y más se explica, generalmente con fuerte intuición geométrica y diagramas, en cursos básicos de cálculo y libros.

Answer 4

No hay una definición formal; varía de un contexto a que la definición es la más útil, y a veces las posibles definiciones no son exactamente equivalentes para todos los puntos y todas las curvas.

Razonable de un "default" de la definición sería que una tangente a una curva sería que la tangente es una recta que pasa por un punto en una curva y se encuentra en la dirección de la derivada de la curva en ese punto.

Esta definición supone que la curva parametrizada que tiene un valor distinto de cero derivada en el punto en cuestión. Existen posibles maneras de lidiar con los puntos donde la derivada es cero (como reparameterizing por longitud de arco, posiblemente teniendo en cuenta sólo una cara de derivados, y así sucesivamente), pero que sin duda nos pone en el contexto específico del territorio.

Answer 5

Generalmente la definición común es definir la tangente como el límite de una línea secante entre dos puntos $f(x)$ y $f(x_0) = f(x+h)$ $h$ va a 0 (y $x_0 \to x$). Una buena discusión de la línea tangente puede encontrarse en este artículo de la MAA:

https://www.MAA.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Polya/07468342.di020721.02p01112.pdf