Nueva Idea para demostrar que $1+2x+3x^2+\cdots=(1-x)^{-2}$

Question

Dado $|x|<1 $ demostrar que $\\1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+...=\frac{1}{(1-x)^2}$.

1ª Prueba: Deja de $s$ se define como $$ s=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+\cdots $$

Entonces tenemos

$$ \begin{align} xs y=x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+\cdots\\ s-xs&=1+(2x-x)+(3x^2-2x^2)+\cdots\\ s-xs y=1+x+x^2+x^3+\cdots\\ s-xs&=\frac{1}{1-x}\\ s(1-x)&=\frac{1}{1-x}\\ s&= \frac{1}{(1-x)^2} \end{align} $$

2ª prueba:

$$ \begin{align} s&=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+\cdots\\ &=\left(1+x+x^2+x^3+\cdots\right)'\\ &=\left(\frac{1}{1-x}\right)'\\ &=\frac{0-(-1)}{(1-x)^2}\\ &=\frac{1}{(1-x)^2} \end{align} $$

3ª Prueba:

$$ \begin{align} s=&1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+\cdots\\ =&1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots\\ &+0+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots\\ Y+0+0+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots\\ Y+0+0+0+x^3+x^4+x^5+\cdots\\ &+\cdots \end{align} $$ $$ \begin{align} s&=\frac{1}{1-x}+\frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\cdots\\ &=\frac{1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...}{1-x}\\ &=\frac{\frac{1}{1-x}}{1-x}\\ &=\frac{1}{(1-x)^2} \end{align} $$

Estos son mis tres pruebas hasta la fecha. Estoy buscando más formas de demostrar la declaración.

Answer 1

$${1\over(1-x)^2}={1\over 1-x}\cdot{1\over 1-x}=\sum_{j\geq0} x^j\cdot\sum_{k\geq0}x^k =\sum_{i\geq0} x^r\left(\sum_{j+k=r}1\right)=\sum_{i\geq0}(r+1)x^r\ .$$

Answer 2

Para el caso especial de $x=\dfrac12$:

Si se acepta que el $1+x+x^2+\dotsb=\dfrac1{1-x}$, la misma imagen funciona - sólo se mueven las líneas horizontales y verticales. En lugar de estar en $1,1\frac12,1\frac34,\dotsb,2$, usted debe ponerlos en $1,1+x,1+x+x^2,\dotsb,\dfrac1{1-x}$. La zona de la plaza es entonces $\left(\dfrac1{1-x}\right){}^2$.

Answer 3

No es una prueba visual, pero por el Teorema del Binomio, $$(1-x)^{-2}=\sum_0^{\infty}{-2\elegir n}(-1)^nx^n$$ $${-2\elegir n}={-2\cdot-3\cdots(-1-n)\sobre n!}=(-1)^n(n+1)$ de$ manera $(1-x)^{-2}=\sum_0^{\infty}(n+1)x^n$, como se desee.

Answer 4

Vamos $S=1+2x+3x^2+4x^3+\dotsb$. \begin{align} \phantom{-x^2}S&=1+2x+3x^2+4x^3+\dotsb\\ \phantom{^2}-xS&=\phantom1-\phantom2x-2x^2-3x^3-\dotsb\\ \phantom{^2}-xS&=\phantom1-\phantom2x-2x^2-3x^3-\dotsb\\ \phantom{-}x^2&=\phantom{1+2x+2}x^2+2x^3+\dotsb \end{align} Añadiendo: \begin{align} (1-2x y+x^2)S\\ Y=1+0x+0x^2+0x^3+\dotsb\\ Y=1\\ S&=\frac1{1-2x+x^2} \end{align}

Answer 5

El efecto de la multiplicación por $1/(1-x)$ para la secuencia de coeficientes es calcular las sumas parciales: si la secuencia original es de $c_0,c_1,\ldots$, a continuación, el nuevo es $$ d_i = c_0 + \cdots + c_i. $$ El punto de partida es la secuencia de $1,0,0,\ldots$. La aplicación de este operador dos veces, obtenemos $$ 1,0,0,0,0,\ldots \\ 1,1,1,1,1,\ldots \\ 1,2,3,4,5,\ldots $$ En esta matriz, la primera fila, la primera columna es constante, y en caso contrario, el valor de una celda es la suma de la celda por encima de ella y la celda de su izquierda.

Voy a dejar que averiguar la conexión de triángulo de Pascal en su propio.