¿Podemos expresar suma de productos como productos de sumas?

Question

Tengo una expresión que es la suma de productos como:

$$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 + \cdots,$$

pero el verdadero problema que estoy de problemas podría resolverse fácilmente si pude convertir esta expresión en algo así como:

$$(a_1+b_1+c_1+\cdots) \cdot (a_2+b_2+c_2+\cdots)$$

Si algunas constantes adicionales se agregan o restan, no es ningún problema, de hecho, es obvio.

¿Primera consulta: podemos convertirlo en algo así como la forma requerida?

Segunda pregunta: en caso afirmativo, ¿cómo?

Answer 1

En general, uno puede escribir un producto de sumas como una suma de productos: $$\left(\sum_{i \in I} x_i\right)\left(\sum_{j \in J} y_j \right) = \sum_{i \in I, j \in J} x_i y_j.$$ Uno no puede, sin embargo, en general revertir este proceso, que es, escribe una suma de productos, $$\phantom{(\ast) \qquad} \sum_{k \in K} x_k y_k, \qquad (\ast)$$ as a product of sums. (In this answer we assume that the index sets, $I, J$, etc., are finite, though with some care we can extend them to infinite sets under suitable conditions.) Note that the factors $x_k, y_k$ of each summand in $(\ast)$ are indexed by the same set $K$, mientras que esto no es (en general) en el caso de que la suma de los productos en la primera ecuación. Cuando lo son, podemos escribir la suma de los productos en términos de un producto de sumas con un término de corrección, es decir, como $$\sum_{k \in K} x_k y_k = \left(\sum_{k \in K} x_k\right) \left(\sum_{k' \in K} y_{k'}\right) - \sum_{k, k' \in K; k \neq k'} x_k y_{k'},$$ pero esto es realmente sólo una reorganización, y no es realmente una algebraicas simplificación.

La expresión $(\ast)$ puede tenerse en cuenta en el envío que es precisamente la norma de producto escalar en el espacio de $\oplus_{k \in K} R$ de los vectores (con componentes indexados por $K$) ${\bf x} := (x_k)$ ${\bf y} := (y_k)$ con entradas en algunas anillo de $R$, $${\bf x} \cdot {\bf y} := \sum_{k \in K} x_k y_k,$$ aunque como la notación indica, se trata de una definición y de nuevo no es una simplificación de por sí.