Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales topológicos (y $W$ es de dimensión finita) entonces un operador lineal $L\colon V\to W$ es continua si y sólo si el núcleo de $L$ es un subespacio cerrado de $V$ .
¿Por qué?
Se necesita la hipótesis de que $V$ y $W$ ser Hausdorff, aunque esto se suele dar por supuesto.
Una dirección es como en el comentario de Siminore.
Para el otro, ya que $\text{ker}L$ es cerrado, el espacio cociente $V/\text{ker}L$ es Hausdorff. Algebraicamente $V/\text{ker}L\cong\text{im}L,$ y $\text{im}L$ es un subespacio de $W.$ El isomorfismo algebraico $V/\text{ker}L\cong\text{im}L$ derivado de $L$ es un isomorfismo topológico porque los espacios finitos admiten sólo una topología de espacio vectorial topológico de Hausdorff (cualquier isomorfismo lineal entre espacios vectoriales topológicos de Hausdorff finitos es un isomorfismo topológico). Esto significa que $L$ es continua, como composición del mapa cociente $V\to V/\text{ker}L$ con el isomorfismo entre $V/\text{ker}L$ y $\text{im}L$ con la inclusión $\text{im}L\to W.$
Supongamos que $W=\mathbb{R}$ para simplificar. Si $L$ no es continua en cero, existe una secuencia $\{v_n\}$ sur $V$ tal que $|v_n|=1$ y $|Lv_n| \to +\infty$ . Supongamos que $L \neq 0$ el mapa nulo. Entonces puedes arreglar $z \in V$ tal que $Lz=1$ . Considere ahora $w_n=v_n-(Lv_n)z \in V$ . Trivialmente, $Lw_n=0$ para que $w_n \in \ker L$ . Pero $$|w_n| \geq \left| |L v_n| |z| - |v_n| \right| \to +\infty.$$ Por lo tanto, $\{w_n\}$ no puede tener ninguna subsecuencia convergente, y $\ker L$ no está cerrado. Esta es la prueba si $V$ tiene una norma. En el caso general, el razonamiento es bastante similar, pero hay que conocer el concepto de vecindad equilibrada. Una referencia precisa es el teorema 1.18 de Rudin, Functional Analysis.
¿Qué hace $|v_n|$ significa que si $v_n\in V$ ¿un espacio vectorial topológico que puede no ser un espacio normado?
Tienes razón, y no estoy muy familiarizado con los espacios vectoriales topológicos sin (semi)norma. La prueba sigue líneas similares, pero la bola unitaria se sustituye por una vecindad fija de cero.
No es necesario asumir que $L \neq 0$ . Si $L = 0$ entonces es automáticamente continua, y el núcleo, todo el espacio, es cerrado.
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Desde $\ker L = L^{-1}(0)$ una dirección es trivial: el singleton $\{0\}$ está cerrado en $W$ por lo que la continuidad de $L$ implica que $\ker L$ está cerrado en $V$ .
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Ya veo, gracias. Tengo otra pregunta, si tal vez pudiera ayudarme. Digamos $M$ es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert $H$ entonces podemos escribir $H = M + M^{\perp}$ . ¿Se mantiene esto si M no es cerrado?
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Por lo que sé, la descomposición ortogonal sólo es válida para subespacios cerrados. Es decir, verdadera en general.
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@rk101 Para tu segunda pregunta, quizás deberías abrir otra. Y la respuesta es no si el espacio de Hilbert es de dimensión infinita, ya que puedes encontrar un funcional lineal no continuo. Su núcleo es un subespacio denso estricto, por lo que su ortogonal es $\{0\}$ .
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No creo que su solución esté corregida. Por qué te aseguras de que" {wn} no puede tener ninguna subsecuencia convergente, y kerL no es cerrado". En este caso, KerL no es compacto, por lo que no requiere que toda secuencia en un subconjunto cerrado debe tener subsecuencia convergente.