Demostraremos que dicha función analítica NO existe.
Supongamos lo contrario, que dicha función analítica $f :\Omega\to\mathbb C$ existe, donde $\Omega\subset \mathbb C$ es una región abierta , con $0\in\Omega$ .
Como $f$ es continua en $z=0$ tenemos que $$ f(0)=\lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0. $$ Si ponemos $g(z)=\big(f(z)\big)^2$ entonces $g$ también es analítica en $\Omega$ y como $$ g\Big(\frac{1}{n}\Big)=\frac{1}{\big(\sqrt{n}\big)^2}=\frac{1}{n}, $$ para todos $n\in\mathbb N$ y $g(0)=0$ entonces, en virtud de la Teorema de la identidad $g$ tiene que ser idéntica a la función $g(z)=z$ ya que las dos funciones coinciden en un conjunto con un punto límite en $\Omega$ ; A saber, el acuerdo sobre el conjunto $$ \left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N\right\}\cup\big\{0\big\}. $$ Así que $\big(f(z)\big)^2=z$ . Diferenciando obtenemos $$ 2\,f(z)\,f'(z)=1, $$ y el ajuste $z=0$ : $$ 0=2 \,f(0)\,f'(0)=1, $$ como $\,f(0)=0$ que es una contradicción -llegamos a esta contradicción habiendo supuesto que tal $f$ existía.
2 votos
Supongamos que lo hay. ¿Qué puede decir sobre $f(0)$ ? Y sobre $f'(0)$ ?