¿Operador de dilatación en CFT considera ' hamiltoniano '?

Question

A partir de las relaciones de conmutación para la conformación de la Mentira de álgebra, podemos inferir que la dilatación del operador desempeña el mismo papel que el de Hamilton en CFTs. Las adecuadas relaciones de conmutación son

$[D,P_{\mu}] = iP_{\mu}$ $[D,K_{\mu}] = -iK_{\mu}$ ,

de modo que $P_{\mu}$ $K_{\mu}$ son de subida y bajada de los operadores, respectivamente, para el operador $D$.

Esto es análogo a los operadores de $\hat a$ $\hat a^{\dagger}$ creación y aniquilación de los operadores para $\hat H$ cuando se habla de los espectros de energía de la $n$ dimensiones de oscilador armónico.

Mi pregunta es, si bien $\hat a$ $\hat a^{\dagger}$ subir y bajar la energía en una unidad de $( \pm \hbar \omega)$ para cada aplicación del operador en autoestados de $\hat H$, lo que se levantó y bajó cuando aplicamos $P_{\mu}$ $K_{\mu}$ a los vectores propios de a $D$?

En segundo lugar, ¿qué es exactamente lo que queremos decir por los vectores propios de a $D$? Son los campos en espacio-tiempo?

Usando la notación de Di Francesco, en su libro "la Teoría conforme de campos', los campos de transformar en una dilatación como $F(\Phi(x)) = \lambda^{-\Delta}\Phi(x)$ donde $\lambda$ es la escala de las coordenadas y $\Delta$ es la escala de la dimensión de los campos.

Puedo escribir $F(\Phi(x)) = D\Phi(x) = \lambda^{-\Delta}\Phi(x)$ para hacer la ecuación de manifiesto?

Gracias por la claridad.

Answer 1

Las relaciones de conmutación $$ [D,P_{\mu}] = +i P_{\mu} , \qquad [D,K_{\mu}] = -i K_{\mu} $$ mostrar que $P_{\mu}$ $K_{\mu}$ subir y bajar la conformación de la dimensión de un estado. En otras palabras, si usted tiene un estado de $|\phi\rangle$ de las dimensiones de $\Delta$, por lo que el $D\, |\phi\rangle = i\Delta |\phi\rangle$, luego $$ D \, P_{\mu} \, |\phi\rangle = [D,P_{\mu}]\, |\phi\rangle + P_{\mu}\,D\\,|\phi\rangle = i(\Delta + 1) \, P_{\mu} \, |\phi\rangle . \etiqueta{1} $$ Mientras que los generadores de la conformación del grupo de actuar en los campos (después de todo, ellos generan una simetría), me resulta más fácil pensar en la acción de un estado, como el $|\phi\rangle>$ por encima. De acuerdo con el estado del operador de correspondencia (véase, por ejemplo, esta pregunta), los estados pueden ser obtenidos por la actuación por parte de los operadores locales en el vacío. $P_{\mu}$ es el generador de las traducciones, y por lo tanto actúa en un operador local $\phi(x)$ como un derivado $$ [ P_{\mu} , \phi(x) ] = i \partial_{\mu} \phi(x) . $$ La ecuación de $(1)$, entonces el le dice que que la derivada lleva la conformación de la dimensión $1$.

La notación que te proponemos al final de su pregunta parece un poco peligroso. $D$ se utiliza con frecuencia para denotar el generador infinitesimal de dilataciones, pero la función de $F$ da la acción del grupo correspondiente elemento. Dicho esto, por supuesto, libre de introducir cualquier anotación que les sea conveniente, siempre y cuando usted lo hace claro, tanto a ti mismo y a los demás lo que quieres decir.

Answer 2

La respuesta a ambas preguntas es que D actúan sobre el espacio de Hilbert de los estados. Voy a responder en orden inverso.

¿qué es exactamente lo que queremos decir por los vectores propios de D? Son los campos en espacio-tiempo?

No, en este contexto, los vectores propios de D son los estados que viven en el espacio de Hilbert de la teoría de campo. Porque es sólo en este sentido que las relaciones de conmutación entre $D$,$P_\mu$ y $K_\mu$ nos dicen que $P_\mu$ $K_\mu$ bajar y subir los autoestados de D.

Para ver esto, considere la posibilidad de que, por el contrario, que los vectores propios de D son los campos. Cuando escribimos $D\phi$ donde $\phi$ es un campo en el CFT, $D$ $\phi$ son lineales operadores que actúan en el espacio de estados. Si insistimos en que la $\phi$ es un autovector de a $D$ en el sentido de que $D\phi=E\phi$ donde E es algunos escalares, D tiene que ser un múltiplo de la identidad, y por lo tanto no tener un discreto autovalor espectro que puede ser bajado o subido.

lo que se levantó y bajó cuando aplicamos Pµ y Kµ a los vectores propios de D

$P_\mu$ $K_\mu$ bajar y subir autoestados exactamente en el mismo sentido que el $a$ $a^\dagger$ bajar y subir autoestados en decir, el oscilador armónico.

Suponiendo que $D$ tiene una discreta del espectro, podemos definir el estado de $|E\rangle$ a ser el estado con autovalor $E$: $D |E\rangle=E|E\rangle$. $P_\mu$ es una elevación del operador en el sentido de que $P_\mu |E\rangle= |E+\hbar\omega \rangle$. Estos siguen directamente de las relaciones de conmutación.

Estas notas por Jared Kaplan da una buena discusión de estos asuntos, en particular mirada a la discusión que conduce a la eq. 3.31.