Esta pregunta se relaciona muy interesantes cuestiones conceptuales en AdS/CFT que se omiten a menudo en las presentaciones de la holográfico diccionario. Entonces, ¿cuál es la historia habitual de la holográfico diccionario (considerando un libre escalar de primero en la distancia Euclídea configuración para simplificar primero)
- Hay una masiva escalar campo con una ecuación de movimiento de la $(\Box-m^2)\phi=0$ donde $\Box$ es el operador de d'Alembert en el fondo el espacio-tiempo.
- El escalar puede ser ampliado cerca de la frontera
$$\phi=z^{\Delta_-}(\phi_{0}+ \phi_{2}z^{2}+\ldots+\phi_{d} z^{d}\log z+\ldots)+z^{\Delta_+}(\psi_{d}+\psi_{d+2}z^{\Delta_++2}+\ldots)$$
donde el $\log$-término sólo aparece si el $\Delta_+$ $\Delta_-$ difieren en un entero. Uno se $\Delta_\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}$ $\phi_0$ $\psi_d$ son el único independiente de los coeficientes que reflejan el hecho de que tenemos un segundo orden de la ecuación de movimiento. Todos los demás coeficientes se encuentran al resolver las ecuaciones de movimiento perturbativa.
- La solución a la ecuación de movimiento se conecta de nuevo en la acción y después de lidiar con la regularización de las cuestiones que se obtiene un funcional que es un límite de la integral. Este límite de la integral se interpreta como la generación funcional de correlators en el doble CFT donde $\phi_0$ es la fuente de un operador escalar $\mathcal{O}$, llama la doble operador, es decir,
$$
\langle e^{-\int d^dx \phi_0\mathcal{O}}\rangle_{\text{CFT}}=e^{-S_{\text{on-shell}}\left[\phi|_{\partial}=\phi_0\right]}.
$$
Hasta la normalización de uno se encuentra $\langle\mathcal{O}\rangle\propto\psi_d$.
- El mapa $x^\mu\to x'{}^\mu =\lambda x^\mu$, $z\to z'= \lambda z$ es una isometría de los Anuncios métrica
$$
ds^2=\frac{1}{z^2}\left(\eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu+dz^2\right)
$$
en virtud de la cual la mayor parte escalares se transforma a medida $\phi'(x')=\phi(x)$. En el límite, z=0, la isometría se convierte en una dilatación (que no es una isometría de la Minowski métrica) y de la expansión de los escalares anterior, se puede ver que la transformada escalar es $\phi_0{}'=\lambda^{-\Delta_-}\phi_0$. Debido a que el acoplamiento $\int d^dx \phi_0\mathcal{O}$ por lo tanto, podemos ver que $\mathcal{O}$ ha escalado dimensión $\Delta_+=d-\Delta_-$.
Para resumir: En la expansión de la escalares cerca de la frontera hay dos modos independientes. El principal modo se interpreta como el origen de la doble operador en el CFT y uno encuentra que la de un punto de la función del operador está dado por la subleading modo.
Ahora, ¿por qué estoy repitiendo esta historia bien conocida historia? Porque en algunas circunstancias, hay una alternativa para el procedimiento descrito, a saber, $\phi_0$ $\psi_d$ puede cambiar los papeles. Este fue explorado por primera vez por Klebanov Y Witten. Ellos describen que hay un límite en el aumento de las dimensiones de escalar los operadores en el campo de la teoría, que es dado por $\Delta>\frac{d-2}{2}$ y es requerido por la unitarity. Ahora, la fórmula $\Delta_\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}$ requiere $\Delta_+>\frac{d}{2}$$\Delta_-<\frac{d}{2}$, lo $\Delta_+$ siempre está por encima de la unitarity obligado no importa lo que la masa de $m$ es y he visto que $\Delta_+$ resultó ser la ampliación de la dimensión de $\mathcal{O}$ en el procedimiento anterior, así que esto es consistente. Sin embargo, en un rango pequeño de la masa del parámetro $m$, por encima de la Breitenlohner-Freedman enlazado $m^2>-\frac{d}{2}$, pero con $m^2<-\frac{d}{2}+1$, también se $\Delta_->\frac{d-2}{2}$! Así, uno puede suponer que $\psi_d$ se supone para ser la fuente de un operador escalar, que luego se convierte a escala de la dimensión de $\Delta_->\frac{d-2}{2}$, es decir, por encima de la unitarity obligado.
Ahora, empezamos a hacer la conexión con la pregunta original. Si se considera un medidor de campo $A$ en la masa en lugar de un escalar, que es sin masa desde una masa plazo rompe la invariancia gauge, nos vamos a encontrar con la misma ambigüedad. Podemos marcar el principal modo de fuente y encontrar que la subleading modo determina el punto de la función de la doble operador o de la otra manera alrededor. El doble operador de un medidor de campo es una conserva de corriente $J^\mu$ cuyas $t$-componente es la densidad de carga de los asociados conservadas de carga, es decir, la expansión de la $t$-componente de la mayor parte medidor de campo se ve como
$$
A^t=\mu(z^{\Delta_-}+\ldots)+\langle J^t\rangle(z^{\Delta_+}+\ldots).
$$
Debido a la ambigüedad de que de los dos modos que elija para marcar como una fuente, y que queremos leer como una respuesta a esta función, podemos forzar el potencial químico o la densidad de carga que tienen un valor determinado, y, por lo tanto, considerar el gran canónica o el ensemble canónico. Por lo tanto, es nuestra libre elección para trabajar en el canónica o el grand ensemble canónico en el campo de la teoría. El potencial químico y la densidad de carga tienen la misma función en ambos casos, es solo la pregunta que uno se fija con la mano y que está respondiendo de forma dinámica, de tal manera que podemos calcular su expectativa de valor a través del diccionario.
