Qué espacios son los inversos de los límites de espacios discretos ?

Question

Hay el siguiente teorema:

"Un espacio de $X$ es el límite inversa de un sistema discreto finito de espacios, si y sólo si $X$ es totalmente desconectada, compacto y Hausdorff."

De un número finito de espacio discreto es totalmente desconectada, compacto y Hausdorff y todas esas propiedades pasar a la inversa de los límites. Supongo que la otra dirección podría ser demostrado por tomar el sistema de todas las descomposiciones de $X$ en discontinuo clopen conjuntos. El límite inversa debe dar $X$ de nuevo.

Entonces, ¿qué pasa, si yo descartar la finitud de la condición. Como se mencionó anteriormente cada límite inversa de espacios discretos es totalmente desconectada, Hausdorff. Así que la pregunta es:

"Que totalmente desconectado espacios de Hausdorff inverso de los límites de espacios discretos?"

Por ejemplo, yo creo que es imposible escribir de $\mathbb{Q}$ como un límite inversa de espacios discretos, pero no tengo una prueba.

Answer 1

Estos son completamente ultrametrizable espacios.

Recordemos que un d:E²→[0,∞) es un ultrametric si

1. d(x,y) = 0 ↔ x = y
2. d(x,y) = d(y,x)
3. d(x,z) ≤ max(d(x,y),d(y,z))

Como de costumbre, (E,d) es un completo ultrametric espacio si cada secuencia de Cauchy converge.

Supongamos que E_∞ es el límite inversa de la secuencia E_n de espacios discretos, con el f_n:E_∞→E_n ser el límite de mapas. Entonces

d_∞(x,y) = inf { 2^-n : f_n(x) = f_n(y) }

es un completo ultrametric en E_∞, que es compatible con el límite inversa de la topología.

A la inversa, dada una completa ultrametric el espacio (E,d), la relación x ∼_n y definida por d(x,y) ≤ 2^-n es una relación de equivalencia. Vamos a E_n ser el cociente E/∼_n, con la topología discreta. Estos espacios tienen evidentes de desplazamientos de los mapas entre ellos, vamos a E_∞ ser la inversa límite de este sistema. El mapa, que envía cada punto de E para la secuencia de sus ∼_n de clases de equivalencia es un mapa continuo f:E→E_∞. Debido a que E es completo, este mapa f es un bijection. Por otra parte, un simple cálculo muestra que este bijection es en realidad un homeomorphism. De hecho, con d_∞ se define como el anterior, tenemos

d_∞(f(x),f(y)) ≥ d(x,y) ≥ d_∞(f(x),f(y))/2.

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Como Pete Clark señaló en los comentarios, el de arriba es una respuesta incompleta ya que la pregunta no se supone que el inverso sistema contable. Sin embargo, el caso general no admitir una similar caracterización en términos de uniformidad. Para los efectos de esta respuesta, digamos que un ultrauniformity es un unformity con un sistema fundamental de séquitos que consiste en abrir (de ahí clopen) las relaciones de equivalencia. Los espacios en cuestión son, precisamente, la completa Hausdorff ultrauniform espacios.

Supongamos que E es el límite inversa de los espacios discretos E_yo con límite de mapas f_i:E→E_yo. Sin pérdida de generalidad, esto es un sistema dirigido. Entonces los conjuntos U_i = {(x,y): f_i(x) = f_i(y)} forman un sistema fundamental de séquitos para la topología en E, cada uno de los cuales es un clopen relación de equivalencia en E. El universal propiedad de la inversa de los límites de las garantías que E es completo y Hausdorff. En efecto, cada filtro de Cauchy en E define una compatible secuencia de puntos en los espacios E_yo, el cual es el único límite de este filtro.

Por el contrario, supongamos que E es un completo Hausdorff ultrauniform espacio. Si U es fundamental entourage (por lo que U es un clopen de equivalencia de la relación en E), entonces el espacio cociente E/U es un espacio discreto ya que la diagonal es clopen. De hecho, el E es el límite inversa de esta dirigido el sistema de cocientes. Es un buen ejercicio (Pete estudiantes) para mostrar que la integridad y Hausdorffness de Correo asegurar que E cumple la característica universal de la inversa de los límites.

Answer 2

Los números racionales no son el límite inversa de una contables de la secuencia de espacios discretos, pero los números racionales son, de hecho, el límite inversa de una innumerable colección de espacios discretos.

Otra forma de ver que los números racionales no son un límite inversa de una contables de la secuencia de espacios discretos, es primero tomar nota de que un límite inversa de una contables de la secuencia de espacios discretos es metrizable por una completa métrica. Por otro lado, todos completamente metrizable subconjunto de $\mathbb{R}$ es un $G_{\delta}$-set [EXCAVADO p. 307]. Si $\mathbb{Q}$ se la intersección de countably a los numerosos conjuntos de $O_{n}$, entonces cada $O_{n}$ sería denso de $\mathbb{Q}$ de segunda categoría. Esta es una contradicción. Por lo tanto $\mathbb{Q}$ no es completamente metrizable y no a la inversa límite de una secuencia de espacios discretos.

Los números racionales son en realidad un límite inversa de espacios discretos. En primer lugar tomar en cuenta que $\mathbb{Q}$ es Lindelof y regular, por lo que $\mathbb{Q}$ es realcompact [WAL p. 41]. Otra forma de ver que $\mathbb{Q}$ es realcompact es tomar en cuenta que $\mathbb{Q}$ es paracompact y de cardinalidad debajo de la primera medibles cardenal. Además, dado que $\mathbb{Q}$ es Lindelof y cero-dimensional. $\mathbb{Q}$ es fuertemente cero-dimensional[WAL p. 85]. Por lo tanto, desde $\mathbb{Q}$ es realcompact y fuertemente cero-dimensional, $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{N}$-compacto[WAL p. 264]. Por lo tanto, desde $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{N}$-compacto, $\mathbb{Q}$ es el límite inversa de espacios discretos[CHE].

Los espacios de los que son inversamente límites de espacios discretos son precisamente los espacios compatible con un completo ultrauniformity como se señaló anteriormente. Vamos a llamar a un espacio topológico ultracomplete si puede ser compatible completa ultrauniformity. Deje que $X$ ser un cero-dimensional espacio. A continuación, deje que $\mathcal{U}$ se la uniformidad generados por las relaciones de equivalencia $E$ de tal manera que cada clase de equivalencia en $E$ es un clopen conjunto. A continuación, vamos a llamar a $\mathcal{U}$ la multa ultrauniformity en el espacio topológico de $X$. Uno puede mostrar que un cero-dimensional espacio $X$ es ultracomplete si y sólo si $X$ es completa en la multa ultrauniformity.

En una nota diferente, cada límite inversa de espacios discretos es un subespacio cerrado de un producto de espacios discretos [EXCAVADO p. 429]. Además, uno puede fácilmente demostrar que todo subespacio cerrado de un producto de espacios discretos se puede dar una compatibilidad completa ultrauniformity, y por lo tanto los subespacios cerrados de productos de espacios discretos puede ser escrito como la inversa de los límites de espacios discretos. Por lo tanto, los espacios representable como la inversa de los límites de espacios discretos son los espacios representable como subespacios cerrados de productos de espacios discretos. Además, para los espacios de cardinalidad debajo de la primera medibles cardenal, la N-compact espacios se corresponden con los espacios representable como la inversa de los límites de espacios discretos.

[CHE] Masticar, Kim-Peu. "N-Espacios compactos como los Límites de la Inversa de los Sistemas de Espacios Discretos." Diario Australiano de la Sociedad Matemática 14.04 (1972): 467.

[EXCAVADO] Dugundji, James. Topología. Boston: Allyn y Tocino, 1966.

[WAL] Walker, Russell C. La Stone-Cech Compactification. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

Answer 3

Los racionales Q no son un límite inversa de espacios discretos. Supongamos que P es el inverso es el límite de Una_n, con un mapa de cada Una_{de n+1} a_n. El límite inversa consiste de secuencias infinitas de que el respeto de estos mapas. Por lo tanto, es el conjunto de infinitos caminos a través del árbol de finito coherente secuencias. (Podemos restringir este árbol para las secuencias finitas que realmente ponga en un infinito rama). Ya Q no tiene puntos aislados, esta restringido árbol es una división de árbol, y por lo tanto tiene continuum 2^ω muchos infinitos caminos. Pero Q es contable, contradicción.

(Podemos suponer que el conjunto de índices del límite es ω, pasando a un cofinal ω secuencia, ya Q es contable y no discretos.)

Answer 4

Usted puede tomar \hat X el límite inversa dada por el sistema de cocients X/Y, donde Y es abierto en X. la Primera nota de que, dado que X es compacto Y está abierto de X/Y es finito. Y si Y es contenida en Y, ambos abiertos en X, entonces existe un canónica continua mapa de la forma X/Y, en X/Y.

Obviamente X con las proyecciones en abrir cocients es una co-cono sobre este sistema, entonces, no es un canónica de la función f fors nuoum X en \hat X. Usted debe demostrar que es continua.

Me salto puede ayudar