Estoy buscando una buena prueba de esta desigualdad:\begin{equation} \sum_{k=1}^{n-1} k^n < n^n, \quad n > 0. \end{equation}
Ejemplo: $1^4 + 2^4 + 3^4 = 1+16+81 = 98 < 4^4 = 256.$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
mjqxxxx
Puntos
22955
Límite de la suma de la integral correspondiente: $$ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n-1} k^n &=& n^{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^{n}\frac{1}{n} \\ &\le& n^{n+1}\int_{0}^{1}x^n dx \\ &=& n^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n+1}\Bigg\vert_{0}^{1} \\ &=& \frac{n^{n+1}}{n+1} \\ &<& n^n. \end{eqnarray} $$
Martin OConnor
Puntos
116
Escribí un expositiva papel en esta desigualdad hace varios años. Contiene los contornos de las dos pruebas de ello. Uno es la prueba por mjqxxxx; el otro es como sigue.
Por el teorema del binomio, sabemos que, si $0 \leq k < n$, $$(k+1)^n = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} k^j > k^n + nk^{n-1} \geq 2k^n,$$ lo que implica que $(k+1)^n - k^n > k^n$$0 \leq k \leq n$.
Por lo tanto, $$\sum_{k=0}^{n-1} k^n < \sum_{k=0}^{n-1} \left((k+1)^n - k^n\right) = n^n.$$
El punto principal del documento, sin embargo, fue a investigar cómo mucho menos, en el límite, el lado izquierdo es de la mano derecha. Específicamente, el artículo demuestra que la $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{k}{n}\right)^n = \frac{1}{e-1}. \tag{1}$$ Thus, in the limit, the sum $\sum \limits_{k=0}^{n-1} k^n$ represents $\frac{1}{e-1} \approx 0.582$ of the single term $n^n$.
La ponencia fue "La de Euler-Maclaurin de la Fórmula y las Sumas de las Potencias," Mathematics Magazine, 79 (1): 61-65, 2006. He aquí una cerca-borrador final del documento. De hecho, hay un sutil error en lo que fue señalado por alguien más, un par de años más tarde; ver mi carta al editor de corregir el error y generalizar el resultado a $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n+m} \left(\frac{k}{n}\right)^n = \frac{e^{m+1}}{e-1}. \tag{2}$$
Ha habido un par de papeles de seguimiento por parte de los demás, también. La religiosa finbarr Holanda publicado otros dos derivaciones de la limitación de resultado (1), y Vito Lampret mostró que la suma en (2) por $m = 0$ es el aumento en el $n$ $\frac{e}{e-1}$y dio una estimación de su tasa de convergencia.
Anthony Shaw
Puntos
858
El teorema del valor medio que dice $\xi$ entre $k$y $k+1$, $$ (k + 1) ^ {n+1}-k ^ {n+1} = (n + 1) \xi^n >(n+1) k ^ n $$ Por lo tanto, por telescópico serie, $$ \sum_{k=0}^{n-1}(n+1) k ^ n < n ^ {n+1} $$ Dividiendo $n+1$, obtenemos $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}k^n &<\frac{1}{n+1}n^{n+1}\\ &<n^n \end {Alinee el} $$
delroh
Puntos
56
Para todos los $0 \leqslant r \leqslant n-1$, tenemos $$ \frac{(r+1)^n}{r^n} = \left( \frac{i+1}{r} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{r} \right)^n \geqslant 1 + \frac{n}{r} \geqslant 2, $$ por lo $r^n \leqslant \frac{1}{2} (r+1)^n$. Ahora por una simple inducción en $k$, obtenemos $$ (n-k)^n \leqslant \frac{n^n}{2^k}. $$ Suma más de $k = 1, 2, \ldots, n-1$, obtenemos $$ \sum_{k=1}^{n-1} (n-k)^n \leqslant n^n \sum_{k=1}^{n-1} 2^{-k} < n^n \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} = n^n, $$ que es lo que queríamos demostrar.
Este enfoque puede exprimir un poco más. En el primer paso, asumiendo $\varepsilon > 0$ $n$ suficientemente grande, tenemos $$ \frac{(r+1)^n}{r^n} = \left( 1 + \frac{1}{r} \right)^n \geqslant \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \geqslant \mathrm e - \varepsilon. $$ Conectar este refinado atado en la anterior prueba, se obtiene el límite superior $$ \sum_{k=1}^{n-1} k^n \lt n^n \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\mathrm{e} - \varepsilon)^{-k} = \frac{n^n}{\mathrm e - \varepsilon - 1}. $$ Esto le da $$ \limsup_n \ n^{-n} \cdot \sum_{k=1}^{n-1} k^n \leqslant \frac{1}{\mathrm e - 1}, $$ que coincide con (medio) el límite obtenido por Mike spivey se.
