¿Cualquier rng $R$, podemos damos una unidad?

Question

Que $R$ ser un rng. (No puede ser unidad)

Entonces, ¿siempre existe un anillo(con la unidad) $A$ tal que $R$ es una subrng $A$?

Answer 1

Uno siempre puede encontrar un anillo con la unidad que contiene un anillo (sin unidad). Hay muchas maneras diferentes de hacerlo; Echemos un vistazo a uno de ellos. Que $R$ denotan el anillo sin unidad y considerar $A=\mathbb{Z}\times R$ con la incorporación canónica y la siguiente multiplicación

$$(m,a)\cdot (n,b)=(mn, na+mb+ab)$$

$A$ con estas dos operaciones es un anillo y $\left(1,0_R\right)$ es una unidad de ese anillo. Y $R\to A$ $a\to (0,a)$ es una inyección canónica de $R$ $A$

Answer 2

Para los lectores futuros, por encima de la construcción puede ser muy generalizada.

Deje $R$ ser un generador de números aleatorios (puede haber ninguna unidad) y $(M,+,•)$ $R$- módulo.

Definir $S=\mathbb{Z}\times R$ y definir operaciones como $(n,a)+(m,b)=(n+m,a+b)$$(n,a)(m,b)=(nm,ma+nb+ab)$.

A continuación, $R$ es un subrng de $S$ con respecto a una incrustación $r\mapsto (0,r)$.

Ahora, definir $(n,a)\ast x = a•x + nx$ donde $x\in M$.

A continuación, $\ast$ de hecho induce $M$ $S$- módulo de e $•$ es la restricción de $ast$$R\times M$.

En resumen, los siguientes es verdadera:

Deje $R$ ser un generador de números aleatorios y $(M,+,•)$ $R$- módulo.

Entonces, existe un anillo de $S$ y una operación $\ast:S\times M\rightarrow M$ tal que $(M,+,\ast)$ $S$- módulo de e $\ast\upharpoonright (R\times M)=•$.

Esto significa que, la definición de módulo de generadores de números aleatorios (puede ser sin la unidad) es equivalente a la definición de módulo de los anillos (con la unidad).

Así, mediante la definición de módulos sobre anillos con unidad, uno puede manejar dos casos.

Por otra parte, aquí es una aplicación de la original : "cada rng es un subrng de un anillo con unidad"

Deje $R$ ser un generador de números aleatorios y considerar la posibilidad de un polinomio generador de números aleatorios $R[X]$.

Desde $R$ no puede tener una unidad, no se puede definir formalmente $X$ como un elemento de $R[X]$.

Sin embargo, al extender $R$ a un anillo de $S$, ya que el $R[X]$ es un subrng de $S[X]$, se puede considerar $X$ como un objeto real!