Teorema de virial y método variacional: una pregunta

Question

Tengo una hydrogenic átomo, sabiendo que su estado fundamental de función de onda tiene la forma estándar $$ \psi = e^{-\beta r} $$ con $A = \frac{\beta^3}{\pi}$, tengo que encontrar el mejor valor para $\beta$ (utilizando el método variacional). Después de haber incluido la corrección de Darwin $$ H_D = D\delta(r) $$ con $D = \frac{\alpha^2\pi Z}{2}$, en el de Hamilton $$ H_0 = -\frac12\nabla^2-\frac{Z}{r} $$

He calculado $$\langle\psi(\beta)|-\frac{\nabla^2}{2}|\psi(\beta)\rangle = \langle \psi(\beta)|T|\psi(\beta)\rangle = \frac{\beta^2}{2}$$ entonces pensé en utilizar el teorema del virial para calcular la parte $\langle V\rangle $: $$ \langle \psi(\beta)|-\frac{Z}{r}|\psi(\beta)\rangle = \langle \psi(\beta)|V|\psi(\beta)\rangle = -2\langle \psi(\beta)|T|\psi(\beta)\rangle = -\beta^2 $$ con el Darwin de la parte izquierda para ser fácilmente calculada.

Mirar las soluciones que mi profesor escribió, acabo de encontrar un resultado diferente:

$$\langle V\rangle = \langle \psi(\beta)|-\frac{Z}{r}|\psi(\beta)\rangle = \frac{Z}{\beta}\langle \psi(\beta)|-\frac{\beta}{r}|\psi(\beta)\rangle = -2\frac{Z}{\beta}\frac{\beta^2}{2} = -\beta Z$$

¿Por qué es eso? Es que esto de alguna manera relacionado con el hecho de que yo voy a usar el método variacional más tarde? Por favor, que me ayude a entender.

Answer 1

En resumen, usted puede encontrar una $|\psi\rangle$ que resuelve la ecuación de schrödinger (y, por tanto, el teorema del virial) o no resolver la ecuación de schrödinger y, a continuación, minimizar $E(\beta)=\langle \psi(\beta)|H|\psi(\beta)\rangle$.

Si has resuelto la ecuación de schrödinger entonces no hay nada que minimizar. Si has adivinado el derecho es la forma funcional de $|\psi(\beta)\rangle$, entonces la función que se va a resolver la ecuación de schrödinger sólo en el valor mínimo $E(\beta)$.

Lo que tenemos es (omitiendo la constante de $A$ por ahora) el derecho es la forma funcional de $|\psi(\beta)\rangle$ que no satisface las condiciones del teorema del virial para todos los valores de $\beta$ porque no resolver la ecuación de schrödinger para todos los valores de $\beta$. Podemos ilustrar este último punto.

El cálculo de $H|\psi\rangle$ arbitrarias $\beta$ (e, ignorando las darwin plazo),

$$H|\psi\rangle= \left(\frac{\beta}{r}-\frac{\beta^2}{2}-\frac{Z}{r}\right)|\psi\rangle$$

(hasta un multiplicativo constante.) Desde $E$ deben ser independientes de $r$ nos encontramos con que $\beta$ debe ser igual a $Z$. Esto es lo que he encontrado por exigente que el teorema del virial se mantiene. Esto te deja con el conocido resultado de que

$$E=-\frac{Z^2}{2}.$$

Tenga en cuenta que si intenta aplicar el teorema del virial y, a continuación, el método variacional, la energía total $E(\beta) \sim -\beta^2$, que como se puede ver es ilimitado desde abajo. No se puede minimizar este! Su profesor enfoque es correcto -- mostrar que usted puede minimizar $\langle T \rangle + \langle V \rangle$ a la conclusión de que la $\beta = Z$.