Generalización leve de un ejercicio de Rudin (azul)

Question

Ejercicio 7.20 de azul Rudin (Principios de Análisis Matemático), 3ª edición, dice:

Si $f$ es continua en a $[0,1]$ y si $$\int_0^1f(x)x^n\,dx = 0, (n=0,1,2,\ldots),$$ demostrar que $f(x)=0$ $[0,1].$

Una prueba: Vamos a $\{p_n\}$ ser una secuencia de polinomios de manera uniforme aproximar $f.$ $p_nf\rightarrow f^2$ uniformemente. Entonces $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1p_n(x)f(x)\,dx = 0 = \int_0^1f^2(x)\,dx,$$ ya podemos intercambio de la integral y el límite. Desde $f^2$ es continua, tenemos $f^2=0$ e lo $f=0$.

Ahora, mi pregunta es si dejamos caer el supuesto de que $\int_0^1f(x)\,dx = 0,$ ¿el resultado? Ligeramente reformulado,

Si $f$ es continua en a $[0,1]$ y satisface $$\int_0^1f(x)x^n\,dx = 0, (n=1,2,3,\ldots),$$ es $f=0$ $[0,1]?$

Si $f(0) = 0$ esto es cierto. En este caso, extender $f$ a un extraño de la función en $[-1,1].$ Tomar una secuencia de polinomios $\{q_n\}$ aproximar uniformemente $f.$, a Continuación, la secuencia de $${\frac{q_n(x)-q_n(-x)}{2}}$$ es una aproximación de $f$ sin un término constante, y podemos aplicar el mismo truco que el anterior.

Así,sólo tenemos que mirar el caso al $f(0)\neq 0.$ ¿alguien sabe de una prueba, o tener un contraejemplo a esta afirmación generalizada?

Answer 1

Set $g(x) = x f(x)$. A continuación, por el ejercicio original, $g=0$. Por lo $f(x) = 0$ todos los $x \ne 0$, y por la continuidad, $f(0)=0$ también.

Por un argumento similar, si $\int_0^1 f(x) x^n dx = 0$ para todos lo suficientemente grande $n$, debemos tener $f=0$.

Edit: más sofisticado afirmación, se puede demostrar que si $\mu$ es cualquier finito medida de Borel en $[0,1]$ que satisface $\int x^n \,d\mu = 0$ para todos lo suficientemente grande $n$, $\mu$ debe ser apoyado en $\{0\}$, es decir, debe ser un punto de masa. (Una manera de mostrar que esta es la Piedra-teorema de Weierstrass: el lapso de $\{x^n : n \ge N\}$ es una subalgebra que separa a los puntos, por lo que su cierre debe ser de todas las funciones continuas que se desvanecen en 0. A continuación, utilice la representación de Riesz teorema.) En particular, si $f \in L^1([0,1], dx)$ $\int f(x) x^n \,dx = 0$ para todos los gran$n$,$f = 0$.e.