Evalúe

Question

He intentado solucionarlo y tiene $\frac{4}{5} \ln(4+5 x+x^2)+C$ como respuesta, pero mi programa de tarea en línea dice que es incorrecta. ¿Lo que hizo que mal?

Me sacó de $\frac{4}{5}$ como una constante y vi que el numerador es la derivada del denominador. Así que pongo el denominador en un logaritmo natural.

Answer 1

Sustituir $u=5x^2+25x+20$, $du=10x+25$, entonces $$\int\frac{8x+20}{5x^2+25x+20}dx=\frac {4}{5} \int \frac {1}{u} du = \frac{4}{5} \ln|5(x^2+5x+4)|+C.$ $

Answer 2

$$\int \frac{8x+20}{5x^2+25x+20} dx=\int \frac{8x+20}{5(x+1)(x+4)} dx$$

$$\frac{8x+20}{5(x+1)(x+4)} =\frac{A}{5(x+1)}+\frac{B}{5(x+4)}=\frac{A(x+4)+B(x+1)}{5(x+1)(x+4)}$$

Por lo tanto:

$$A+B=8 \\ 4A+B=20$$

$$3A=12 \Rightarrow A=4$$

$$B=8-A=4$$

Por lo tanto:

$$\frac{8x+20}{5(x+1)(x+4)}=\frac{4}{5} \frac{1}{x+1}+\frac{4}{5} \frac{1}{x+4}$$

Por lo tanto:

$$\int \frac{8x+20}{5(x+1)(x+4)} dx=\frac{4}{5} \ln |x+1|+\frac{4}{5} \ln |x+4|+c$$