Tengo una pregunta básica sobre el significado de la Tate giros en étale cohomology.
Quiero que el entender una declaración de la forma $$H^1(U,\Lambda) \cong \Lambda(-1)$$ in which $U$ is the spectrum of a localization of a regular, strictly henselian local ring $$ - I don't think giving more details would be useful - and $\Lambda = \mathbb{Z}/\ell^n \mathbb{Z}$ for some prime number $\ell$ which is invertible in $$ (and some positive integer $$n).
No sé cómo "leer" esta declaración. Soy bien consciente de la existencia de la étale poleas $\Lambda(1)$, $\Lambda(-1)$, ... y sé cómo se definen. Pero $H^1(U,\Lambda)$ es un cohomology grupo (o $\Lambda$-módulo), no una gavilla. Entonces, ¿qué es $\Lambda(-1)$ en el por encima de la igualdad? Al principio pensé que esto significaría que el grupo subyacente es, precisamente, $\Lambda$ equipada con algunos de Galois de acción, pero de los que Galois grupo? no es obvio - lo que explica el "(-1)". Pero supongo que esto está mal...
También, cómo está por encima de la igualdad relativa a la declaración de $$H^1(U,\mu_{\ell^n}) = H^1(U,\Lambda(1)) \cong \Lambda?$$ This is a statement which I think I understand; $\Lambda(1)$ is a perfectly honest étale sheaf, you can consider étale cohomology with coefficients in this sheaf and get the group $\Lambda$ como de salida. Sin embargo, debe haber algunas diferencias sutiles entre estos dos isomorphisms...?
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
