Me preguntaba sobre una propiedad de una suma que he visto recientemente. $${8\choose2}+{9\choose 2}+{15\choose2} + {16\choose2}=17^2$$ Y si incrementamos los términos $${9\choose3}+{10\choose 3}+{16\choose3} + {17\choose3}=38^2$$ ¿Es una coincidencia? Los expandí en factoriales pero eso no me reveló nada.
Respuesta
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Benjamin Bannier
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Empecé a explorar esto numéricamente en Mathematica. Para $n\ge6$ , dejemos que $$f(n) = \sqrt{\binom{n}{n-6}+\binom{n+1}{n-6}+\binom{n+7}{n-6}+\binom{n+8}{n-6}}$$
Lo que hice fue evaluar esta expresión para $n \in [6,10000]$ . Cualquier resultado integral recibió un $1$ y todos los no enteros recibieron un $0$ . El total se sumó para contar el número de resultados integrales...
f[n_, k_] := Sqrt[Binomial[n, k] + Binomial[n + 1, k] + Binomial[n + 7, k] + Binomial[n + 8, k]]
Total[Table[If[f[n, n - 6] \[Element] Integers, 1, 0], {n, 6, 10000}]]El resultado fue $3$ . Que sólo da el caso base, así como los dos proporcionados por el OP. Espero que esto ayude como punto de partida.
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¿El patrón de $\binom{n}{k}+\binom{n+1}{k}+\binom{n+7}{k}+\binom{n+8}{k}$ ¿funciona para otros valores?
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@SirJective Lamentablemente no sé usar programas para comprobarlo, así que no estoy seguro
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Algo que podría ser interesante de considerar sería la suma de la primera $n$ Los números de impar es $n^2$ ¿podría dividir los valores de estos en esas sumas?
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Para $k=2$ la suma se reduce a $n^2 + (n+7)^2$ por lo que estamos buscando triples pitagóricos. Por ejemplo, funcionará para $n=5$ .
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$$\binom{21}{2}+\binom{22}{2}+\binom{28}{2}+\binom{29}{2}=35^2,$$ $$\binom{22}{3}+\binom{23}{3}+\binom{29}{3}+\binom{30}{3}=105^2,$$
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¡Ah, cielos! para ${m \choose 2} + {{m+1} \choose 2} = \frac {m(m-1)}{2!} + \frac{m(m+1)}{2!} = \frac {m^2 - m + m^2 + m}{2} = m^2$ . Así que esos son triples pitagóricos. $8^2 + 15^2 = 17^2$ No sé cómo funcionan los triples. (He nunca se da cuenta de esto).
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La solución original y la de @Oleg567 son las únicas hasta $10^6$ .