Deje $n$ ser positivos intger, y $x\ge y\ge z$ son enteros positivos, $$n(x+y+z)=xyz$$ Encontrar el $(x+y+z)_{\max}$
He de ver este problema sólo respuesta es $(n+1)(n+2)$,iff $x=n(n+2),y=n+1,z=1$
y Cómo hacerlo?
Respuestas
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Stephan Aßmus
Puntos
16
La solución que se sugiere en la pregunta no parecen dar la mayor suma de una determinada relación de $n:$
1 6 3 2 1
2 8 4 2 2
2 10 5 4 1
2 12 8 3 1
3 9 3 3 3
3 10 5 3 2
3 14 7 6 1
3 15 9 5 1
3 16 12 2 2
3 20 15 4 1
4 12 6 4 2
4 15 10 3 2
4 18 9 8 1
4 21 14 6 1
4 30 24 5 1
5 12 5 4 3
5 14 7 5 2
5 16 10 4 2
5 22 11 10 1
5 24 15 8 1
5 28 20 7 1
5 30 25 3 2
5 42 35 6 1
6 14 7 4 3
6 16 8 6 2
6 18 12 3 3
6 24 18 4 2
6 26 13 12 1
6 30 20 9 1
6 36 27 8 1
6 56 48 7 1
7 15 7 5 3
7 18 9 7 2
7 27 21 3 3
7 30 15 14 1
7 33 21 11 1
7 45 35 9 1
7 48 42 4 2
7 72 63 8 1
8 15 6 5 4
8 16 8 4 4
8 20 10 8 2
8 21 12 7 2
8 21 14 4 3
8 24 16 6 2
8 34 17 16 1
8 35 20 14 1
8 35 28 5 2
8 39 26 12 1
8 44 32 11 1
8 54 48 3 3
8 55 44 10 1
8 90 80 9 1
9 16 6 6 4
9 18 9 6 3
9 20 12 5 3
9 22 11 9 2
9 28 21 4 3
9 32 24 6 2
9 38 19 18 1
9 40 24 15 1
9 42 27 14 1
9 52 39 12 1
9 66 54 11 1
9 70 63 5 2
9 110 99 10 1
10 18 9 5 4
10 24 12 10 2
10 24 16 5 3
10 42 21 20 1
10 42 35 4 3
10 48 32 15 1
10 48 40 6 2
10 78 65 12 1
10 132 120 11 1
Stephan Aßmus
Puntos
16
RESUMEN: es muy cierto que los $$(x+y+z)_{\max} = n^2 + 3n + 2,$$ esto ocurre sólo cuando se $z=1, y=n+1, x=n^2 + 2n $
Esto funciona. Voy a dejar a $n=1,2,3$ como ejercicio para el lector. Tomamos $n \geq 4.$ Nos da $x \geq y \geq z \geq 1,$ con $$ xyz = nx + ny + nz, $$ $$ x y z^2 = nxz + nyz + n z^2, $$ $$ z^2 xy - n zx - nzy = n z^2, $$ $$ z^2 xy - nzx - nzy + n^2 = n^2 + n z^2, $$ $$ (zx - n)(zy-n) = n(n+z^2). $$
En primer lugar, si $z \geq n,$ $x,y,z \geq n.$ Nos encontramos con $(zx-n)(zy-n) \geq (z^2 -n)^2.$ por lo Tanto $$ (zx - n)(zy-n) - n(n+z^2) \geq z^4 - 3 n z^2 = z^2(z^2 - 3n). $$ El factor de $z^2 - 3n$ es positivo para $ z \geq n \geq 4.$ ANEXO Cuando se incluyen las $n=1,2,3,$ todavía podemos obtener la conclusión de $z \leq n$ desde el mismo cálculo. Si asumimos $z \geq n+1,$ obtenemos una contradicción, porque $ z^2 - 3n \geq n^2 + 2 n + 1 - 3n = n^2 - n + 1 \geq \frac{3}{4} > 0.$ por lo Tanto, uno puede terminar de $n=1$ con $z=1,$ $n=2$ con $z=1,2,$ $n=3$ $z=1,2,3.$
Continuamos con $n \geq 4$ $z < n.$ Para llegar al remate, el valor más grande posible con fijo $n,z$ es al $z=1,$ según lo sugerido por el OP y mi equipo de ejecutar la última noche.
Croquis de la prueba para la renta fija $1 \leq z < n.$ Tenemos $$ (zx - n)(zy-n) = n(n+z^2). $$ Si ambos factores en el lado izquierdo son no positivos, que significa $ z(x+y) < 2n, $ o $x+y \leq 2n,$ donde $x+y+z \leq 3n.$ Este es pequeño, se puede hacer mejor. Cuando ambos factores son positivos, en particular, $zy > n.$ Vamos $$ n \equiv \delta \pmod z, $$ con $$ 0 \leq \delta < z. $$ A continuación, $$ n + (z - \delta) \equiv 0 \pmod z. $$
La AUDIENCIA de SOLICITUD: si tengo los números reales positivos $AB=C,$ fijos $C$ y el límite inferior $A\geq B \geq \epsilon > 0,$ el mayor valor de $A+B$ se produce cuando $B = \epsilon.$ Este es un cálculo o multiplicadores de Lagrange. Para maximizar $x+y,$ vamos a maximizar $(zx - n)+(zy-n).$ Estos dos sumandos tienen un producto fijo $n(n+z^2),$, por lo que la mayor suma se produce cuando $zy-n$ es tan pequeño como sea posible, que es $y$ es tan pequeño como sea posible.
Para minimizar $y$ (marque con multiplicadores de Lagrange) podemos tomar $$ zy = n + (z - \delta) \leq n+z. $$ Como resultado, $$ 1 \leq zy - n \leq z. $$ Con $$ (zx - n)(zy-n) = n(n+z^2), $$ $$ (zx - n) \leq n(n+z^2). $$ Tenemos $$ z^2 \leq z^2, $$ $$ zy \leq n + z,$$ $$ zx \leq n^2 + (z^2+1)n,$$ $$ z(x+y+z) \leq n^2 + (z^2+2)n + (z^2 + z) , $$ $$ x+y+z \leq \frac{n^2 + (z^2+2)n + (z^2 + z) }{z} = \frac{(n+1)z^2 + z + n^2 + 2n }{z} = (n+1)z + 1 + \frac{ n^2 + 2n }{z} $$ $$ x+y+z \leq (n+1)z + 1 + \frac{ n^2 + 2n }{z} $$ La segunda derivada (en $z$) de la mano derecha es positivo, la primera derivada de la derecha es negativo para los pequeños $z$ como $1.$ El siguiente valor de $z$ para que el obligado es tan grande como su valor en $z=1$ es $$ z = n + 1 - \frac{1}{n+1} > n. $$ Esto significa que con $z < n,$ el mejor valor es al $z=1.$ $y = n+1$ $x = n^2 + 2n.$
user90369
Puntos
26
Es una sugerencia, no una prueba.
Ser $x$ un polinomio de $n$ grado $a$.
Ser $y$ un polinomio de $n$ grado $b$.
Ser $z$ un polinomio de $n$ grado $c$.
Ser$z\le y\le x$$c\le b\le a$.
Entonces tiene que ser $1+\max(a,b,c)=a+b+c$.
Esto sólo es posible para $(b,c)=(1,0)$$a\ge 1$.
Uno pone las condiciones para los coeficientes de los polinomios ($a+1$ coeficientes de $x$, $b+1$ los coeficientes de $y$, $c+1$ los coeficientes de $z$) y por lo tanto el número de ecuaciones, obviamente, ser $(a+1)+(b+1)+(c+1)=(a+1)(b+1)(c+1)$ e con $(b,c)=(1,0)$ uno se $a+4=2(a+1)$ , lo que significa $a=2$ y, por tanto,$a\in \{1,2\}$.
Estas consideraciones no son exactos, pero muestran la dirección correcta.
Espero te sirva de ayuda.
(Con el fin de obtener una solución reemplace $x,y,z$ por polinomios de $n$ (grados $(a,b,c)=(2,1,0)$) y calcular sus coeficientes.)
