La suma de variables aleatorias exponenciales sigue una distribución Gamma, confundido por los parámetros

Question

He aprendido que la suma de variables aleatorias exponenciales sigue una distribución Gamma.

Pero en todas partes que leo la parametrización es diferente. Por ejemplo, Wiki describe la relación, pero ¿no dice qué significan realmente sus parámetros? ¿Forma, escala, tasa, 1/tasa?

Distribución exponencial: $x$~$exp(\lambda)$ $$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$$ $$E[x]=1/ \lambda$$ $$var(x)=1/{{\lambda}^2}$$

Distribución Gamma: $\Gamma(\text{forma}=\alpha, \text{escala}=\beta)$ $$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$$ $$E[x]=\alpha\beta$$ $$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$$

En este contexto, ¿qué es $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$? ¿Cuál sería la parametrización correcta? ¿Y cómo se extendería esto al chi-cuadrado?

Answer 1

La suma de $n$ distribuciones exponenciales iid con escala $\theta$ (tasa $\theta^{-1}$) es una distribución gamma con forma $n$ y escala $\theta$ (tasa $\theta^{-1}$).

Answer 2

La suma de $n$ variables aleatorias Gamma independientes $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ es una variable aleatoria Gamma $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$. No importa lo que signifique el segundo parámetro (escala o inversa de la escala) siempre y cuando todas las $n$ variables aleatorias tengan el segundo parámetro igual. Esta idea se extiende fácilmente a variables aleatorias $\chi^2$ que son un caso especial de variables aleatorias Gamma.

Answer 3

La distribución gamma está compuesta por la distribución exponencial, que es la base de la distribución gamma. entonces, si $f(x|\lambda)=\lambda e^{\lambda x}$ tenemos que $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$, siempre y cuando todos los $X_i$ sean independientes.

$$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha1} \cdot e^{x\beta} $$