El número de clase de un campo de número es un muy sutil y invariante no trivial. Para ilustrar la magnitud de nuestra ignorancia: se desconoce si hay infinitamente muchos campos de número de número de la clase $1$. Sin embargo, una plausible la conjetura de Gauss dice que incluso entre real cuadrática campos, ya hay infinitamente muchos de ellos!
Como ustedes saben, el tamaño de la clase $\text{Pic}(\mathcal O_K)$ está relacionado con el valor especial de $\zeta_K(s) de dólares, por el número de clase de la fórmula. El número de la clase fórmula es más elegante expresa diciendo que $\zeta_K(s)$ tiene un cero de rango de $r_1+r_2-1 = \text{rango}_\mathbf{Z}\: \mathcal O_K^\times$ a $s=0$, y que su coeficiente inicial de $\zeta_K^{(r_1+r_2-1)}(s)/(r_1+r_2-1)!$ equivale a $hR/\omega$, donde $h = |\text{Pic}(\mathcal O_K)|$, $R$ es el regulador de $K$ y $\omega = |(\mathcal O_K^{\times})_{\text{.}}|$. En la práctica, sin embargo, uno no puede esperar a que se basan en el número de clase de la fórmula, dicen, limitar el número de clase en una familia de campos de número. Como el caso de la real cuadrática campos de la muestra, el comportamiento en las familias es muy irregular.
Elija una incrustación de $K$ en $\mathbf C$. Vamos a escribir $G$ para la absoluta grupo de Galois $\text{Ga}(\overline{K}/K)$, donde $\overline{K}$ es la clausura algebraica de $K$ en $\mathbf C$.
Voy a tratar de mostrar cómo el problema de la delimitación de la clase de grupo es un problema de Galois cohomology.
Una palabra de advertencia: En lo que sigue, debemos garantizar que la secuencia de Kummer
$$1 \a \mu_n \a \mathbf G_m \xrightarrow{\cdot^n} \mathbf G_m \a 1$$
de étale poleas en $X=\text{Spec }\mathcal O_K$ es exacta, y esto es cierto si y sólo si $n$ es una unidad en $\mathcal O_K$. Por lo tanto, todo lo que sigue es sólo cierto para $n=1$, donde es vacuo. Esto no es un problema que tenemos con curvas, gracias a la existencia de un campo base, contamos con una gran oferta de $n$'s, que son las unidades. Con el fin de aplicar este método a un número de anillo, se debe invertir un conjunto finito de números primos en $\mathcal O_K$ para hacer un poco de espacio para la ramificación. Tomar lo que sigue como una ilusión de la fecunda tipo.
Se deduce de la Kummer secuencia ($n=1$!) el "Kummer-Mordell-Weil," la secuencia exacta
$De$1 \\mathcal{S}_K^\/(\mathcal{S}_K^\times)^n \H^1_{ét}(\text{Spec }\mathcal O_K, \mu_n) \a \text{Pic}(\mathcal O_K)[n] \a 1,$$
donde $\text{Pic}(\mathcal O_K)[n]$ es el $$n-torsión de la clase de grupo.
Base de cambio de $K$ determina un mapa $H^1_{ét}(\text{Spec }\mathcal O_K, \mu_n) \H^1_{ét}(K, \mu_n) = H^1(G, \mu_n)$. De acuerdo a Kummer teoría, $H^1(G, \mu_n) \simeq K^\times/(K^\times)^n$, y en este, $H^1_{ét}(\text{Spec }\mathcal O_K, \mu_n)$ se identifica con $$(K^\times/(K^\times)^n)(n) = \{ x \in K^\times/(K^\times)^n : \nu(x) \equiv 0 \mod n \quad \forall \nu\},$$ de un número finito de grupo. La secuencia se convierte en
$De$1 \\mathcal{S}_K^\/(\mathcal{S}_K^\times)^n \a (K^\times/(K^\times)^n)(n) \a \text{Pic}(\mathcal O_K)[n] \a 1.$$
(Si identificamos $\text{Pic}(\mathcal O_K)[n]$ a través de global de la clase de teoría de campo con el $n$-torsión del grupo de Galois de Hilbert campo de la clase de $K$, entonces el mapa de $(K^\times/(K^\times)^n)(n) \a \text{Pic}(\mathcal O_K)[n]$ se identifica con la reciprocidad mapa global de campo de la clase de teoría. El grupo de dólares(K^\times/(K^\times)^n)(n)$ es el análogo de la $n$-Selmer grupo de una curva elíptica.)
Por lo tanto, el tamaño de $\text{Pic}(\mathcal O_K)[n]$ es controlado por el cokernel del mapa de $\mathcal{S}_K^\/(\mathcal{S}_K^\times)^n \a (K^\times/(K^\times)^n)(n)$. Esto se parece mucho a la construcción del regulador. En una manera, $|\text{Pic}(\mathcal O_K)[n]|$ contribuye a la "parte finita" del regulador ("parte finita" en el sentido de que $\widehat{\mathbf Z} \otimes \mathbf P$ es la parte finita de $\mathbf A_\mathbf{P}$). Esto sugiere que la cantidad de $fc$ (= clase número de veces regulador) es una de las más naturales invariantes del campo $K$, y sugiere por qué es tan difícil aislar los dos factores.
El grupo de $\mathcal{S}_K^\/(\mathcal{S}_K^\times)^n$ es fácil escribir de forma explícita el uso de Dirichlet de la unidad de teorema. La verdadera dificultad radica en el control del tamaño de dólares(K^\times/(K^\times)^n)(n)$. Por ejemplo, para agrupar a $\text{Pic}(\mathcal O_K)[n]$ a continuación, será necesario construir una lo suficientemente grande colección de elementos no triviales de $(K^\times/(K^\times)^n)(n)$. Este es un caso particular de "el arte de la construcción de cohomology clases", que es un área activa de investigación.
Un principio general dice que cohomology de clases en un objeto de $X$ pueden ser construidos a partir de objetos de "la mentira más de $X$" (pensar en gavilla cohomology). En este contexto, este punto de vista es el objeto de la teoría de Iwasawa y la teoría de Euler de los sistemas. La construcción de cohomology clases es generalmente una "artesanal" de la cosa. Uno tiene que hacer uso de cualquiera propiedades especiales del objeto considerado puede tener. Por ejemplo, el "Euler sistema de cyclotomic unidades", nos permite limitar el tamaño de los grupos de la clase de cyclotomic campos. La construcción de este Euler sistema depende fundamentalmente de las especiales propiedades aritméticas de la torre de cyclotomic campos. Por análogas a las preguntas de una curva elíptica sobre $\mathbf Q$, a saber, la cuestión de la delimitación de la Selmer o el grupo de Tate-Shafarevich grupo, uno tiene la teoría de espacios homogéneos, Kolyvagin de Euler sistema de...
Finalmente, se puede relacionar este punto de vista con la teoría de la $L$-valores a través de $p$-adic $L$-funciones, pero eso es otro cuento.
