Caracteres irreducibles del producto directo de dos grupos

Question

Estoy estudiando la teoría de representación y caracteres debido a mi campo de investigación. Así que mi pregunta no es una tarea.

Quiero resolver un problema del libro "character theory of finite groups" de M. Isaacs. El problema es el siguiente:

Sé que si $A$ es un grupo abeliano, entonces cada carácter de $A$ en el campo de los números complejos es lineal. También sé que si $G=H \times A$ entonces cada carácter irreducible de $G$ puede ser escrito como $\phi \lambda$, donde $\phi \in Irr(H)$ y $\lambda \in Irr(A)$. Usando estos hechos, intenté resolver este problema pero no pude encontrar ninguna idea útil.

Estaré muy agradecido por sus respuestas y comentarios útiles.

Answer 1

Bien, aquí tienes un esquema:

Primero redúcelo al caso donde $A$ es trivial, esto se puede hacer utilizando los hechos que mencionaste.

Luego nota que $\chi$ está valuada en $\mathbb{Q}[\zeta]$ donde $\zeta$ es una raíz primitiva $|H|$-ésima de la unidad, y $\chi^{(n)}$ es simplemente la imagen de $\chi$ bajo el automorfismo de campo definido por $\zeta \to \zeta^n$ (que existe dado que $(|H|,n)=1$).

Luego nota que si $\chi$ es irreducible entonces $\langle\chi,\chi\rangle = \langle\chi^{(n)},\chi^{(n)}\rangle = 1$ ya que es invariante bajo este automorfismo de campo.

Ahora muestra que $\chi^{(n)}$ está en el $\mathbb{Z}$-span de los caracteres irreducibles, en lugar de solo en el $\mathbb{C}$-span que conocemos a priori. Una forma de hacer esto es utilizando las identidades de Newton para polinomios simétricos.

Podemos concluir que $\chi^{(n)}$ es $\pm1$ veces un caracter irreducible. Para verificar que es positivo, intenta hacerlo coincidir con la representación regular (cuyo caracter está fijado por nuestro automorfismo de campo).