Calcular la integral gaussiana compleja multivariada

Question

No sé cómo resolver la tarea de Leib&Loss P121, Ex4(b), en la que hay que calcular lo siguiente $$ \int_{\mathbb{R}^n}\exp(-x^tAx)dx=\pi^{n/2}/\sqrt{\det A} $$ donde $A=A^t$ es un simétrico (gracias Paul, ver los comentarios) matriz compleja con parte real definida positiva.

Se insinúa que hay que usar algo así como la extensión continua, pero no sé cómo hacerlo

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ACTUALIZACIÓN

Como es fácil de mostrar en caso $A$ es real, trato de demostrar que $$ F(t)=\int_{\mathbb{R}^n}\exp(-x^t(A+tBi)x)dx-\pi^{n/2}/\sqrt{\det (A+tBi)} , $$ es independiente de $t$ El DCT nos hace diferenciar bajo la integral, pero no puedo demostrar que $F'(t)=0$ .

Answer 1

Una forma corregida de la pregunta pide que se demuestre que $\int_{\mathbb R^n} e^{-x^tAx}\;dx\;=\; \pi^{n/2}/\sqrt{\det A}$ para la simetría $n$ -por- $n$ $A$ con parte real positiva-definida. En primer lugar, para $A$ real (positiva-definida), existe una (única) raíz cuadrada positiva-definida $S$ de $A$ y el cambio de variables $x=S^{-1}y$ da el resultado, tal y como había señalado el autor de la pregunta.

El truco aquí, como en muchas situaciones similares que piden la extensión a parámetros complejos de un cálculo que tiene éxito simplemente por el cambio de variables en el caso puramente real, es la invocación del Principio de Identidad del análisis complejo. Es decir, si $f,g$ son holomorfas en un abierto no vacío $\Omega$ y $f(z)=g(z)$ para $z$ en algún subconjunto con un punto de acumulación, entonces $f=g$ en todo $\Omega$ . Esto se puede iterar para aplicarlo a varias variables complejas, de diversas maneras. En el caso que nos ocupa, esto da una extensión de la simetría real a las matrices simétricas complejo matrices (con la restricción de la definición positiva en la parte real, para la convergencia de todo).

Sin duda, el tramo complejo (en el espacio de $n$ -por- $n$ matrices) de matrices simétricas reales es compleja simétrico matrices, no $n$ -por- $n$ matrices complejas con parte imaginaria arbitraria.

EDIT: Para discutir la meromorfia en cada una de las entradas, observe que si $A$ es simétrica con parte real positiva-definida, entonces también lo es $A+z\cdot (e_{ij}+e_{ji})$ para un complejo suficientemente pequeño $z$ , donde $e_{ij}$ es la matriz con $ij$ -ésima entrada $1$ y por otra parte $0$ . Sin intentar describir el dominio preciso, esto permite varias pruebas de holomorfía de ambos lados de la igualdad afirmada. Para demostrar la conectividad de cualquier dominio (para un $i>j$ ) es, basta con observar que es convexo : si $A$ y $B$ son complejos simétricos con parte real positiva-definida, entonces lo mismo ocurre con $tA+(1-t)B$ de verdad $t$ en el rango $0\le t\le 1$ .

Answer 2

Toma \begin{align} A:= \begin{pmatrix} 1 & -2i \\ i & 1 \end{pmatrix} \end{align} Entonces $\sqrt{\det(A)} = \pm i$ y su fórmula predice que el valor de la integral es $\pm i\pi$ . Sin embargo, $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} = x^2 + y^2 - ixy$ y \begin{align} \int_{\mathbb{R}^2} \exp(-x^2 - y^2 + ixy) \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{2\pi}{\sqrt{5}}. \end{align}

Answer 3

En el caso de que A sea complejo, $\sqrt{detA}$ tiene dos valores. El problema debería consistir en cuál elegir. Hay ambigüedad al decir esto $\int_{\mathbb{R}^2} e^{-x^{t}Ax}dx=\pi^{n/2}\sqrt{detA}$ .

Una forma de considerar este problema es diagonalizar $A$ (posible porque A es hermitiano) y cambiar de coordenada.

La integral es entonces $\int_{\mathbb{R}^2}e^{-(a_1+i b_1){x_1}^{2}-(a_2+ib_2){x_2}^{2}}dx_1dx_2$ con $a_1,a_2>0$ .

Así que este problema se transforma en una gaussiana compleja de una dimensión. Entonces se puede considerar un contorno complejo que son dos sectores cerrados por el eje real y un rayo complejo en el plano compex. Queremos que la integral sobre el eje real y la integral sobre el rayo complejo sean iguales. Este requisito obliga a que el ángulo entre el rayo complejo y el eje real sea menor o igual a $\frac{\pi}{4}$ . Así se obtiene qué valor de $\sqrt{det A}$ uno debe elegir.

Answer 4

La fórmula dada es falsa si $\sqrt{\cdot}$ se interpreta como la rama principal. Existe el siguiente contraejemplo: dejemos que $n \geq 5$ y que $A = e^{\frac{2\pi i}{n} } I_{n \times n}$ donde $I_{n \times n}$ es el $n\times n $ matriz de identidad ( $n \geq 5$ garantiza la parte real de $A$ es positiva definida). Entonces la integral es igual a $- (2\pi )^\frac{n}{2}$ sin embargo la fórmula da $(2\pi )^\frac{n}{2}$ , un error por un signo.

Por otro lado, la fórmula es verdadera si se dice que el lado izquierdo es $\pm$ el lado derecho. Puedes demostrarlo elevando al cuadrado ambos lados y mostrando que ambos lados son holomorfos/analíticos en $A$ coinciden para matrices reales pos. def. y el conjunto de matrices que tienen parte real definida positiva es camino conectado (continuación analítica). El hecho de que la matriz sea simétrica en lugar de hermitiana es importante para la analiticidad (porque una matriz hermitiana tiene una derivada antiholomórfica no nula con respecto a $\overline{A_{ij}}$ ).

El problema de hacer un argumento similar sin elevar al cuadrado es que para que el lado derecho sea analítico, hay que excluir las matrices $A$ que tienen un determinante negativo $\det{A} < 0$ (si la línea real negativa es su corte de rama). Sin embargo el conjunto de matrices con parte real definida positiva y determinante no negativo no es un conjunto conexo, por lo que no se puede continuar analíticamente.

Hay que reconocer que me parece extraño que $\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{1}{2} x^{\mathrm{T}}A x } dx$ es holomorfa sin cortes de rama, pero en algún conjunto abierto es igual a una función analítica con cortes de rama.