Divisibilidad de grupo de exponentes cuando el subgrupo finito de índice.

Question

Deje $G$ ser un grupo (no es necesario finito) y $H$ a un subgrupo de $G$ de índice de $n$ tal que exp $(H)<+\infty$ .

Mostrar que $$\exp(G)<+\infty$$ and $$\exp(G)\mid\exp(H)\cdot n.$$

Observaciones.

• El caso de al $H$ es normal, es una consecuencia de la estructura del grupo en la cosets.

• Si $g\in G$, en general $g^n\not\in H$, por ejemplo $G=S_5$, $H=S_4$ y $g=(12)(345)$.

Answer 1

Se ha demostrado ya en los comentarios que ${\rm exp}(G)$ es finito, así que vamos a suponer que. Deje $g \in G$. Por factorización $|g|$, $n$ y ${\rm exp}(H)$ en el primer poderes, que fácilmente se puede reducir al caso en el $|g|$ es una potencia de un primo $p$.

En la permutación de acción de $G$ en los cosets de $H$, $g$ se asigna a un producto de ciclos, cada uno de longitud de un poder de $p$. Deje $p^a$ ser el más alto poder de $p$ que divide $n$. A continuación, algunos ciclo de $g$ en esta acción debe tener la longitud de $p^b$$b \le a$, y por lo $g^{p^a}$ corrige un punto y por lo tanto se encuentra en un conjugado de $H$. Por lo $|g^{p^a}|$ divide ${\rm exp}(H)$ y hemos terminado.