Producto tensorial de un campo numérico $K$ y el $p$ -enteros radicales

Question

En el documento Una base de datos de campos locales J. Jones y D. Roberts introdujeron un isomorfismo $K \otimes \mathbb{Q}_p \cong \prod\limits_{i=1}^g K_{p,i}$ , donde $K$ es alguna extensión dimensional finita de $\mathbb{Q}$ y $\{K_{p,i} \}$ es una colección de extensiones de dimensión finita de $\mathbb{Q}_p$ .

El isomorfismo no se menciona de nuevo, y no está claro por qué es incluso un isomorfismo de módulos (¿sobre qué anillo?), álgebras (¿sobre qué anillo?), grupos abelianos, etc.

$K \otimes \mathbb{Q}_p$ se denomina "asociado $p$ -álgebra adica", sugiriendo quizás que este producto tensorial puede ser interpretado no como un módulo sobre $\mathbb{Q}$ sino como un álgebra sobre $\mathbb{Q}_p$ . Pero esto no tiene sentido, ya que $K$ no contiene $\mathbb{Q}_p$ como subcampo.

Quería preguntar si alguien puede arrojar algo de luz sobre este isomorfismo-que es un isomorfismo de cómo se da el isomorfismo, cómo los campos $K_{p,i}$ se eligen, etc., así como el significado de estas nociones. En la introducción del documento sólo se lee "para investigar algunos problemas sobre campos numéricos, basta con conocer sólo invariantes básicos del $K_{p,i}$ como el índice de ramificación y el grado residual".

Cualquier explicación de lo anterior, o enlace a una referencia en la que se den los detalles, sería muy apreciada.

Answer 1

Imagina que $K=\mathbb{Q}[\alpha]$ para algún número algebraico $\alpha$ . Sea $m(x)$ sea el polinomio mínimo de $\alpha$ . Entonces sabemos que $K\cong \mathbb{Q}[x]/\langle m(x)\rangle$ . Como $\mathbb{Q}_p$ es un campo de extensión de los racionales, el polinomio $m(x)$ (irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ ) puede ser un producto de factores irreducibles $$ m(x)=\prod_i m_i(x), $$ donde $m_i(x)$ son polinomios irreducibles en $\mathbb{Q}_p[x]$ . Porque $m(x)$ es separable, los polinomios $m_i(x)$ son distintos. Por lo tanto, el Teorema Chino del Resto dice que $$ \mathbb{Q}_p[x]/\langle m(x)\rangle\cong\bigoplus_i \mathbb{Q}_p[x]/\langle m_i(x)\rangle. $$ Aquí, en el lado derecho, los sumandos $\mathbb{Q}_p[x]/\langle m_i(x)\rangle$ son todos campos de extensión de $\mathbb{Q}_p$ porque los polinomios $m_i(x)$ son irreducibles. POR OTRO LADO, $$ \mathbb{Q}_p[x]/\langle m(x)\rangle\cong\mathbb{Q}[x]/\langle m(x)\rangle\otimes\mathbb{Q}_p\cong K\otimes\mathbb{Q}_p. $$ Sin duda, puede adivinar el resto: los campos $\mathbb{Q}_p[x]/\langle m_i(x)\rangle$ son los campos $K_{p,i}$ .

Answer 2

Otros tendrán explicaciones más completas, precisas y eficaces que las mías, pero permítanme intentarlo.

Dejemos que $\mathscr O$ sea el anillo de enteros algebraicos de $K$ . Entonces $p\mathscr O=\prod_i\mathfrak p_i^{e_i}$ , donde $\mathfrak p_1,\ldots,\mathfrak p_g$ son los ideales primos de $\mathscr O$ dividiendo $p$ . El $\mathfrak p_i$ -Cumplimiento de los requisitos de $K$ es un campo $K_{p,i}$ que es de grado $n_i$ en $\mathbb Q_p$ y tenemos $n_i=e_if_i$ donde $e_i$ es como el anterior y $f_i$ es el grado del campo de la clase de los residuos en $p_i$ y además $\sum_in_i=[K\colon\mathbb Q]$ .

Entonces el mapa $K\to\bigoplus_iK_{p,i}$ enviando un elemento al $g$ -tupla de todas sus imágenes en las distintas terminaciones se extiende a $K\otimes\mathbb Q_p$ . El resto de detalles y comprobaciones se dejan al lector.

Answer 3

$K \otimes \mathbb{Q}_p$ es un $\mathbb{Q}_p$ álgebra, donde $\mathbb{Q}_p$ está integrado en $K \otimes \mathbb{Q}_p$ a través de $x \mapsto 1 \otimes x$ . El hecho de que $\mathbb{Q}_p$ no está contenida en $K$ no importa. El producto tensorial es más $\mathbb{Q}$ su campo base común.

En general, para 2 campos cualesquiera $K$ y $F$ que son extensiones de un campo común $E$ podemos considerar $K \otimes_E F$ como $F$ -álgebra de la misma manera.