$f(x)=\sin x$, $f$ polinomio

Question

$f$ es un polinomio y supongamos que $f(x)=\sin x$ tiene una infinidad de soluciones. Demostrar que $f$ es una constante entre -1 y 1.

Tengo el problema de forma intuitiva, pero ¿cómo lo voy a probar esta formalmente?

Puede alguien darme alguna pista?

Answer 1

No un de Alto Nivel de la Escuela de Solución: en Primer lugar, nos muestran que la $f(x)=\sin(x)$ debe tener una solución para arbitrariamente grande,$x$. Si no, entonces $f(x)=\sin(x)$ tiene una infinidad de soluciones en un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$). Por el Teorema de Identidad para Funciones Analíticas, como los polinomios son analíticos, llegamos a la conclusión de que $f=\sin$, pero esto contradice la suposición de que $f$ es un polinomio (debido a $f$ tendría una infinidad de raíces, lo que es el polinomio cero). Por lo tanto, $f(x)=\sin(x)$ debe tener soluciones con $|x|\to\infty$. A continuación, utilice @newnewnewnewnenwwojpwjfpoergje ahora eliminado sugerencia (no sé por qué se elimina, ya que es una buena sugerencia). Si $f$ es no constante, entonces $\big|f(x)\big|\to\infty$$|x|\to\infty$, de donde $f(x)=\sin(x)$ no puede arbitrariamente grandes soluciones de $x$.

Answer 2

Esto es un tanto complicado de manejar y no requiere el uso de Taylor Teorema, pero estrictamente no necesitamos nada de análisis complejo.

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Deje $g(x) = f(x) - \sin x$ donde $f(x)$ es un polinomio. Es evidente que si podemos diferenciar $g(x)$ varias veces, la parte relativa a $f(x)$ desaparecerá ($(n + 1)^{\text{th}}$ derivada de un polinomio de grado $n$$0$) y la parte relativa a $\sin x$ va a tomar una de las cuatro formas de $\pm\cos x , \pm\sin x$ alternadamente. De esto se sigue que, para un determinado $x$ habrá un entero positivo $n$ que $g^{(n)}(x) \neq 0$.

Ahora considere una raíz $\alpha$$g$, de modo que $g(\alpha) = 0$. Desde el anterior argumento es obvio que existe al menos un entero positivo $n$ tal que $g^{(n)}(\alpha) \neq 0$ (de modo que $g(\alpha) = g'(\alpha) = \cdots = g^{(n - 1)}(\alpha) = 0$. Por Taylor Teorema tenemos $$g(\alpha + h) = \frac{h^{n}}{n!}g^{(n)}(\alpha) + o(h^{n})$$ and hence $g(\alpha + h) \neq 0$ for all sufficiently small values of $h$. Thus there is a neighborhood of $\alpha$ in which $g$ does not have any root other than $\alpha$.

A continuación podemos observar que si $f(x)$ es un polinomio de grado positivo, a continuación, como $x \to \infty$ o $x \to -\infty$ el polinomio $f(x)$ también tienden a $\pm\infty$ $\sin x$ seguirá siendo limitada. Por lo tanto, si hay alguna de las raíces de $g(x) = f(x) - \sin x$ que necesariamente se encuentran en algunos delimitada intervalo de tipo $[a, b]$. Si hay infinitamente muchas raíces de $g$ acostado en $[a, b]$, por Bolzano, Weierstrass Teorema del conjunto $A$ de las raíces de $g$ tiene un punto de acumulación $\beta \in [a, b]$. Así que hay una secuencia de raíces $\alpha_{n}$ $g$ tal que $\alpha_{n} \to \beta$$n \to \infty$. Entonces, por la continuidad de $g$ hemos $$g(\beta) = g(\lim_{n \to \infty}\alpha_{n}) = \lim_{n \to \infty}g(\alpha_{n}) = 0$$ so that $\beta$ is also a root of $g$. But then we reach a contradiction because we have proved earlier that each root of $g$ has a neighborhood in which there are no other roots of $g$ and $\beta$ being an accumulation point of roots of $g$ is such that every neighborhood of $\beta$ contains a root of $g$ other than $\beta$.

Por lo tanto el polinomio $f(x)$ deben ser de grado cero yo.e $f$ es una constante. Ahora claramente $\sin x = f(x)$ implica que el $f$ debe ser una constante entre los $-1$ $1$ (ambos inclusive).

Answer 3

Vamos a comprobar el contrapositivo. Supongamos $f$ no es el deseado constante del polinomio. Hay dos posibilidades. En primer lugar $f$ es una constante toma un valor fuera de$[-1,1]$, en cuyo caso $f(x) = \sin x$ $0$ soluciones, es decir, un número finito de soluciones. La segunda posibilidad es que el $f$ es el polinomio de grado finito, al menos,$1$. A continuación, podemos encontrar $c$ tal que $f'(x) \neq 0$ todos los $|x|>c$ (de lo contrario $f$ no tiene finita grado), en cuyo caso $f$ es monótona creciente o decreciente cuando se $|x|>c$. Por lo tanto, finalmente, debemos tener $|f(x)|>\sin(x)$. Por otra parte, sólo puede haber un número finito de intersecciones en cualquier intervalo finito, por lo que estamos por hacer.

Answer 4

Suponga que el polinomio no constante.
sabemos que
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \pm \infty}}$f(x)=$\pm$ $\infty$ (f(x) no es constante,también tiene un líder plazo)
como f(x) es un polinomio
para la ecuación f(x)=sinx para tener infinitamente muchas soluciones de f(x) debe
se encuentran debajo de la $\pm$ 1 cuando x $\rightarrow$$\pm$$\infty$. Pero esto es una contradicción.
Por lo tanto, f(x) es una función constante que se extiende entre los $\pm$1.