¿Qué aplicaciones prácticas hace que la teoría de conjuntos?

Question

Yo soy un no-matemático. Estoy leyendo sobre la teoría de conjuntos. Es fascinante, pero me pregunto si sus encontró ninguna 'mundo real' de las aplicaciones todavía. Por ejemplo, en la escuela secundaria y que estaban aprendiendo las propiedades de yo, muchos de los niños se preguntó qué se usaba. El maestro respondió que era usado para describir las propiedades de la electricidad en los circuitos. Por lo que hay un similar práctico de la aplicación de la teoría de conjuntos? Algo que no sería capaz de hacer o construir sin la teoría de conjuntos?

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Edit: en Realidad, estoy preguntando sobre la practicidad de los conocimientos de las propiedades de los conjuntos infinitos, y su cardinalidad. Estoy leyendo Peter Suber es Un Curso intensivo en la Matemática De Conjuntos Infinitos. Las propiedades de los conjuntos infinitos parecer poco intuitivo, pero por supuesto, la prueba demuestra que son verdaderas.

Mi conjetura es que quien se acercó a la raíz cuadrada de -1 lo hizo muchos años antes de que se 'escapó' de las matemáticas y encontrado un uso práctico. Antes de entonces, tal vez la gente pensaba que era inteligente, pero no necesariamente útil o incluso a 'true'. Entonces, si usted necesita para comprender la electricidad, y usted puede hacerlo mejor mediante el uso de i, entonces incluso alguien que piensa que es una tontería tener una raíz cuadrada negativa -1 tendría que admitir a regañadientes que hay una cierta "realidad", a pesar de su unintuitiveness, debido a que la electricidad se comporta como si 'existe'.

Viendo que hay tanta resistencia a los conjuntos infinitos al principio, incluso entre los matemáticos, me pregunto que tiene la matemática de conjuntos infinitos ser probados de la pena' por tener una aplicación práctica fuera de las matemáticas, de modo que nadie puede decir que es sólo algunos imaginativos juegos?

Answer 1

El propósito de la teoría de conjuntos no es la aplicación práctica de la misma manera que, por ejemplo, el análisis de Fourier tiene aplicaciones prácticas. Para la mayoría de los matemáticos (es decir, aquellos que no son en sí el conjunto de los teóricos), el valor de la teoría de conjuntos no es en cualquier teorema, pero en el idioma que nos da. Hoy en día, científicos de la computación describir su concepto básico - máquinas de Turing - en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Esto es útil porque cuando se especifica un conjunto de objetos-en teoría, no hay ninguna duda de lo que está hablando y usted puede de forma inequívoca responder a cualquier pregunta que usted pueda tener acerca de esto. Sin definiciones precisas es muy difícil hacer cualquier matemáticas serias.

Supongo que otro punto importante aquí es que es muy difícil apreciar el papel de la teoría de conjuntos en matemáticas sin saber un poco de la historia detrás de la crisis de fundamentos en las matemáticas, pero no sé muy buenas referencias.

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La segunda pregunta es más específica, así que me voy a dar una respuesta más específica: comprender a fondo las matemáticas detrás de, digamos, la física moderna no en el hecho de exigir (entre otras muchas cosas) que comprende las propiedades de los conjuntos infinitos debido a la topología se ha convertido en una parte importante de la matemática, y la comprensión de topología general depende en gran medida de la comprensión de las propiedades de los conjuntos infinitos. Si esto significa que la teoría de conjuntos tiene ninguna influencia en la "realidad" depende de la cantidad de fe que usted tiene en espacios topológicos como un buen modelo para el mundo real.

Como un ejemplo específico, las matemáticas detrás de la relatividad general se llama la geometría diferencial. Creo que es justo decir que el desarrollo de la relatividad general habría sido imposible sin el lenguaje matemático para expresar. La geometría diferencial se lleva a cabo en un tipo especial de colectores, que son tipos especiales de espacios topológicos. Así que para entender la geometría diferencial que usted necesita para comprender, al menos, algunos de topología. Y no creo que tenga que justificar la utilidad de la relatividad general!

Answer 2

Usted necesita la teoría de conjuntos que han teoría de la medida y necesidad de teoría de la medida a tener los análisis necesarios para apoyar, por ejemplo, series de Fourier. Realmente, la mayoría de lo que está pasando en análisis real (y, por tanto, en el cálculo) depende de tener una predicción comprensión de cómo infinito sumas, secuencias y conjuntos de comportarse.

Así, elemental de la teoría de conjuntos y las ideas sobre los conjuntos infinitos, en particular, son cruciales para todos los tipos de "prácticas" de matemáticas.

Answer 3

Un lindo aplicación de Cantor de los resultados de la teoría de conjuntos es la existencia de trascendental números. Desde el conjunto de los números algebraicos es contable, mientras que la continuidad es que no debe existir una cantidad no numerable de trascendentales, en particular, hay al menos uno.

Aunque esta no era la primera prueba de este resultado era muy temprano y el más fácil.

Answer 4

Aunque estoy seguro de que cualquier recta usos de la teoría de conjuntos, la teoría de conjuntos difusos se utiliza directamente en muy pocas áreas (ingeniería, medicina, negocios, ciencias sociales) donde la información es incompleta. Véase, por ejemplo, la Teoría de conjuntos Difusos: Aplicaciones en las Ciencias Sociales o las Aplicaciones de la Lógica Difusa en la Bioinformática.

Answer 5

Hay muchos usos de los conjuntos infinitos y sus propiedades. Permítanme darles una específica de ciencias de la computación. Una importante prueba taks de ciencias de la computación es demostrar o verificar que los programas hacen lo que se supone que deben hacer. Cuando tales programas incluyen los bucles y las llamadas recursivas (auto-referencia), necesitamos métodos para mostrar que los bucles y las llamadas recursivas terminar, es decir, que el programa no se ejecuta siempre. La costumbre principio de inducción para los números naturales es suficiente para mostrar que un solo bucle termina, pero necesitamos el doble de inducción de doble bucles, triple de inducción para la triple bucles, etc. Todo negocio puede ser muy complicado cuando el programa es más que una simple combinación de bucles. La teoría de conjuntos ayuda a arreglar todo con el principio de inducción transfinita y el cálculo de (infinito) números ordinales. Inducción transfinita cubre todas las posibles maneras en que uno puede mostrar que finaliza un programa, mientras que los números ordinales se utilizan para expresar la complejidad de la prueba de la terminación (el más grande es el número, más complicado es ver que el programa en realidad terminar).