¿Cuál es la estrategia más eficaz para ganar en este juego?

Question

El juego es el siguiente. Alice selecciona en secreto tres números reales $a_{1},a_{2},a_3$ tal que $1\geq a_1\geq a_2\geq a_3\geq 0$ y $a_1+a_2+a_3=1$ . Bob selecciona en secreto tres números reales $b_{1},b_{2},b_{3}$ tal que $1\geq b_1\geq b_2\geq b_3\geq 0$ y $b_1+b_2+b_3=1$ A continuación, comparan sus números. Alice obtiene un punto si $a_i\geq b_i$ y Bob obtiene un punto si $a_i\leq b_i$ . La persona con más puntos gana el juego.

Por ejemplo, si Alice selecciona $\frac{1}{2},\frac{3}{8},\frac{1}{8}$ y Bob selecciona $\frac{3}{5},\frac{3}{10},\frac{1}{10}$ entonces Alice gana porque $a_1=\frac{1}{2}\leq\frac{3}{5}=b_1$ , dando a Bob un punto, pero $a_2=\frac{3}{8}\geq\frac{3}{10}=b_2$ y $a_3=\frac{1}{8}\geq\frac{1}{10}=b_3$ , dándole a Alice dos puntos.

¿Cuál es la mejor estrategia para este juego?

Answer 1

La mejor estrategia es elegir $a_1=a_2=a_3=\frac{1}{3}$ y la probabilidad de ganar es de $\frac{2}{3}$ .

Lo primero que hice fue un programa que calculaba las probabilidades de un conjunto dado $(a_1,a_2,a_3)$ para ganar un $(b_1,b_2,b_3)$ . Para ello, he generado 10000 conjuntos aleatorios para Bob utilizando este y comprobó cuántos de ellos ganaron el conjunto dado por Alice.

He comprobado las probabilidades de los 210 conjuntos $(a_1, a_2, a_3)$ de la forma $a_i = 0.05·n, \space\space n\in \mathbb{N}$ y descubrió que los más altos estaban cerca de la combinación $a_1=a_2=a_3=\frac{1}{3}$ . Puedes consultar la tabla completa de probabilidades que obtuve aquí .

Para averiguar por qué esta es la distribución óptima, se me ocurrió lo siguiente:

Todas las ternas posibles $(a_1, a_2, a_3)$ que satisfagan $1a_1a_2a_30$ puede representarse como un triángulo en el plano (como se señala en los comentarios, sólo tenemos dos parámetros independientes):

Si ahora aplicamos las restricciones $a_2\geq a_3$ y $a_2\leq a_1=1-a_2-a_3$ obtenemos: Veamos en qué casos ganará Bob si juega un poco $(b_1, b_2, b_3)$ . Para ganar, debe hacer realidad dos de las siguientes desigualdades: $$ 1)\space\space b_2>a_2\\ 2)\space\space b_3>a_3\\ 3)\space\space b_1>a_1\Leftrightarrow b_2 + b_3 < a_2 + a_3 $$ Veamos cuándo se cumplen estas condiciones:

Si se intenta maximizar la suma de estas tres áreas, se encuentra que la suma máxima es para $b_2=b_3=\frac{1}{3}$ .

Esto no es exactamente correcto, ya que no todos los puntos del triángulo tienen la misma probabilidad, pero más o menos apunta a la respuesta correcta.